Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29459 / 15044
↖ ↑ ↗
← N 69.279484°
W 18.176880°		 ← 216.10 m → N 69.279484°
W 18.171387°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 69.277541°
W 18.176880°		 ← 216.12 m →
46 703 m²		 N 69.277541°
W 18.171387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449516296386719 y=0.229560852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449516296386719 × 216)
    floor (0.449516296386719 × 65536)
    floor (29459.5)     		tx = 29459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229560852050781 × 216)
    floor (0.229560852050781 × 65536)
    floor (15044.5)     		ty = 15044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29459 / 15044 ti = "16/29459/15044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29459/15044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29459 ÷ 216
    29459 ÷ 65536     		x = 0.449508666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15044 ÷ 216
    15044 ÷ 65536     		y = 0.22955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449508666992188 × 2 - 1) × π
    -0.100982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31724640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22955322265625 × 2 - 1) × π
    0.5408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69926721773175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31724640} λ = -0.31724640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69926721773175))-π/2
    2×atan(5.46993764945466)-π/2
    2×1.38997571512136-π/2
    2.77995143024273-1.57079632675     		φ = 1.20915510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31724640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.176880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20915510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.279484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29459 KachelY 15044 -0.31724640 1.20915510 -18.176880 69.279484
    Oben rechts KachelX + 1 29460 KachelY 15044 -0.31715053 1.20915510 -18.171387 69.279484
    Unten links KachelX 29459 KachelY + 1 15045 -0.31724640 1.20912118 -18.176880 69.277541
    Unten rechts KachelX + 1 29460 KachelY + 1 15045 -0.31715053 1.20912118 -18.171387 69.277541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20915510-1.20912118) × R
    3.39200000001316e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20915510-1.20912118) × R
    3.39200000001316e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31724640--0.31715053) × cos(1.20915510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353809777082489 × 6371000     		do = 216.102684748406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31724640--0.31715053) × cos(1.20912118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353841502845203 × 6371000     		du = 216.122062456265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20915510)-sin(1.20912118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353809777082489-0.353841502845203)×R²
    abs(-0.31715053--0.31724640)×3.17257627137635e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17257627137635e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17257627137635e-05×40589641000000     		ar = 46702.8175457429m²