Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29458 / 23022
↖ ↑ ↗
← N 47.107523°
W 18.182373°		 ← 415.76 m → N 47.107523°
W 18.176880°		 →
↑
415.77 m
↓
↑
415.77 m
↓
N 47.103784°
W 18.182373°		 ← 415.79 m →
172 867 m²		 N 47.103784°
W 18.176880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449501037597656 y=0.351295471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449501037597656 × 216)
    floor (0.449501037597656 × 65536)
    floor (29458.5)     		tx = 29458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351295471191406 × 216)
    floor (0.351295471191406 × 65536)
    floor (23022.5)     		ty = 23022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29458 / 23022 ti = "16/29458/23022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29458/23022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29458 ÷ 216
    29458 ÷ 65536     		x = 0.449493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23022 ÷ 216
    23022 ÷ 65536     		y = 0.351287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.10101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31734228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351287841796875 × 2 - 1) × π
    0.29742431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.934386047394135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31734228} λ = -0.31734228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.934386047394135))-π/2
    2×atan(2.54565006937122)-π/2
    2×1.1964888509196-π/2
    2.3929777018392-1.57079632675     		φ = 0.82218138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31734228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.182373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82218138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.107523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29458 KachelY 23022 -0.31734228 0.82218138 -18.182373 47.107523
    Oben rechts KachelX + 1 29459 KachelY 23022 -0.31724640 0.82218138 -18.176880 47.107523
    Unten links KachelX 29458 KachelY + 1 23023 -0.31734228 0.82211612 -18.182373 47.103784
    Unten rechts KachelX + 1 29459 KachelY + 1 23023 -0.31724640 0.82211612 -18.176880 47.103784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82218138-0.82211612) × R
    6.52599999999559e-05 × 6371000     		dl = 415.771459999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82218138-0.82211612) × R
    6.52599999999559e-05 × 6371000     		dr = 415.771459999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31734228--0.31724640) × cos(0.82218138) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680624678516003 × 6371000     		do = 415.760592195993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31734228--0.31724640) × cos(0.82211612) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.68067248864874 × 6371000     		du = 415.789797086334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82218138)-sin(0.82211612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680624678516003-0.68067248864874)×R²
    abs(-0.31724640--0.31734228)×4.7810132736914e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7810132736914e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7810132736914e-05×40589641000000     		ar = 172867.459769189m²