Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29458 / 15521
↖ ↑ ↗
← N 68.332348°
W 18.182373°		 ← 225.54 m → N 68.332348°
W 18.176880°		 →
↑
225.53 m
↓
↑
225.53 m
↓
N 68.330320°
W 18.182373°		 ← 225.56 m →
50 869 m²		 N 68.330320°
W 18.176880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449501037597656 y=0.236839294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449501037597656 × 216)
    floor (0.449501037597656 × 65536)
    floor (29458.5)     		tx = 29458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236839294433594 × 216)
    floor (0.236839294433594 × 65536)
    floor (15521.5)     		ty = 15521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29458 / 15521 ti = "16/29458/15521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29458/15521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29458 ÷ 216
    29458 ÷ 65536     		x = 0.449493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15521 ÷ 216
    15521 ÷ 65536     		y = 0.236831665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.10101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31734228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236831665039062 × 2 - 1) × π
    0.526336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65353541549422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31734228} λ = -0.31734228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65353541549422))-π/2
    2×atan(5.22542124416609)-π/2
    2×1.3817103910484-π/2
    2.7634207820968-1.57079632675     		φ = 1.19262446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31734228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.182373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19262446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.332348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29458 KachelY 15521 -0.31734228 1.19262446 -18.182373 68.332348
    Oben rechts KachelX + 1 29459 KachelY 15521 -0.31724640 1.19262446 -18.176880 68.332348
    Unten links KachelX 29458 KachelY + 1 15522 -0.31734228 1.19258906 -18.182373 68.330320
    Unten rechts KachelX + 1 29459 KachelY + 1 15522 -0.31724640 1.19258906 -18.176880 68.330320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19262446-1.19258906) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dl = 225.533400000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19262446-1.19258906) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dr = 225.533400000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31734228--0.31724640) × cos(1.19262446) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.369222127880829 × 6371000     		do = 225.539883264736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31734228--0.31724640) × cos(1.19258906) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.369255026327084 × 6371000     		du = 225.559979329321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19262446)-sin(1.19258906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369222127880829-0.369255026327084)×R²
    abs(-0.31724640--0.31734228)×3.28984462549253e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.28984462549253e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.28984462549253e-05×40589641000000     		ar = 50869.0428805696m²