Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29457 / 23023
↖ ↑ ↗
← N 47.103784°
W 18.187866°		 ← 415.75 m → N 47.103784°
W 18.182373°		 →
↑
415.77 m
↓
↑
415.77 m
↓
N 47.100045°
W 18.187866°		 ← 415.78 m →
172 862 m²		 N 47.100045°
W 18.182373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449485778808594 y=0.351310729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449485778808594 × 216)
    floor (0.449485778808594 × 65536)
    floor (29457.5)     		tx = 29457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351310729980469 × 216)
    floor (0.351310729980469 × 65536)
    floor (23023.5)     		ty = 23023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29457 / 23023 ti = "16/29457/23023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29457/23023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29457 ÷ 216
    29457 ÷ 65536     		x = 0.449478149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23023 ÷ 216
    23023 ÷ 65536     		y = 0.351303100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449478149414062 × 2 - 1) × π
    -0.101043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31743815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351303100585938 × 2 - 1) × π
    0.297393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.934290173594894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31743815} λ = -0.31743815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.934290173594894))-π/2
    2×atan(2.5454060199267)-π/2
    2×1.19645622273666-π/2
    2.39291244547332-1.57079632675     		φ = 0.82211612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31743815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.187866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82211612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.103784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29457 KachelY 23023 -0.31743815 0.82211612 -18.187866 47.103784
    Oben rechts KachelX + 1 29458 KachelY 23023 -0.31734228 0.82211612 -18.182373 47.103784
    Unten links KachelX 29457 KachelY + 1 23024 -0.31743815 0.82205086 -18.187866 47.100045
    Unten rechts KachelX + 1 29458 KachelY + 1 23024 -0.31734228 0.82205086 -18.182373 47.100045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82211612-0.82205086) × R
    6.52599999999559e-05 × 6371000     		dl = 415.771459999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82211612-0.82205086) × R
    6.52599999999559e-05 × 6371000     		dr = 415.771459999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31743815--0.31734228) × cos(0.82211612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68067248864874 × 6371000     		do = 415.746431442105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31743815--0.31734228) × cos(0.82205086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680720295882583 × 6371000     		du = 415.775631515854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82211612)-sin(0.82205086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68067248864874-0.680720295882583)×R²
    abs(-0.31734228--0.31743815)×4.78072338430113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78072338430113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78072338430113e-05×40589641000000     		ar = 172861.57113027m²