Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29457 / 15535
↖ ↑ ↗
← N 68.303935°
W 18.187866°		 ← 225.80 m → N 68.303935°
W 18.182373°		 →
↑
225.79 m
↓
↑
225.79 m
↓
N 68.301905°
W 18.187866°		 ← 225.82 m →
50 985 m²		 N 68.301905°
W 18.182373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449485778808594 y=0.237052917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449485778808594 × 216)
    floor (0.449485778808594 × 65536)
    floor (29457.5)     		tx = 29457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237052917480469 × 216)
    floor (0.237052917480469 × 65536)
    floor (15535.5)     		ty = 15535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29457 / 15535 ti = "16/29457/15535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29457/15535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29457 ÷ 216
    29457 ÷ 65536     		x = 0.449478149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15535 ÷ 216
    15535 ÷ 65536     		y = 0.237045288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449478149414062 × 2 - 1) × π
    -0.101043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31743815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237045288085938 × 2 - 1) × π
    0.525909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65219318230486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31743815} λ = -0.31743815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65219318230486))-π/2
    2×atan(5.21841221527166)-π/2
    2×1.38146244534781-π/2
    2.76292489069563-1.57079632675     		φ = 1.19212856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31743815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.187866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19212856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.303935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29457 KachelY 15535 -0.31743815 1.19212856 -18.187866 68.303935
    Oben rechts KachelX + 1 29458 KachelY 15535 -0.31734228 1.19212856 -18.182373 68.303935
    Unten links KachelX 29457 KachelY + 1 15536 -0.31743815 1.19209312 -18.187866 68.301905
    Unten rechts KachelX + 1 29458 KachelY + 1 15536 -0.31734228 1.19209312 -18.182373 68.301905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19212856-1.19209312) × R
    3.54399999999977e-05 × 6371000     		dl = 225.788239999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19212856-1.19209312) × R
    3.54399999999977e-05 × 6371000     		dr = 225.788239999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31743815--0.31734228) × cos(1.19212856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369682942751855 × 6371000     		do = 225.797820210438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31743815--0.31734228) × cos(1.19209312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369715871877928 × 6371000     		du = 225.817932917921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19212856)-sin(1.19209312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369682942751855-0.369715871877928)×R²
    abs(-0.31734228--0.31743815)×3.29291260732223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29291260732223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29291260732223e-05×40589641000000     		ar = 50984.7630327344m²