Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29456 / 22961
↖ ↑ ↗
← N 47.335100°
W 18.193359°		 ← 413.94 m → N 47.335100°
W 18.187866°		 →
↑
413.99 m
↓
↑
413.99 m
↓
N 47.331377°
W 18.193359°		 ← 413.97 m →
171 371 m²		 N 47.331377°
W 18.187866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449470520019531 y=0.350364685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449470520019531 × 216)
    floor (0.449470520019531 × 65536)
    floor (29456.5)     		tx = 29456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350364685058594 × 216)
    floor (0.350364685058594 × 65536)
    floor (22961.5)     		ty = 22961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29456 / 22961 ti = "16/29456/22961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29456/22961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29456 ÷ 216
    29456 ÷ 65536     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22961 ÷ 216
    22961 ÷ 65536     		y = 0.350357055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350357055664062 × 2 - 1) × π
    0.299285888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.940234349147781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940234349147781))-π/2
    2×atan(2.56058141809496)-π/2
    2×1.19847483727082-π/2
    2.39694967454164-1.57079632675     		φ = 0.82615335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82615335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.335100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29456 KachelY 22961 -0.31753402 0.82615335 -18.193359 47.335100
    Oben rechts KachelX + 1 29457 KachelY 22961 -0.31743815 0.82615335 -18.187866 47.335100
    Unten links KachelX 29456 KachelY + 1 22962 -0.31753402 0.82608837 -18.193359 47.331377
    Unten rechts KachelX + 1 29457 KachelY + 1 22962 -0.31743815 0.82608837 -18.187866 47.331377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82615335-0.82608837) × R
    6.49799999999923e-05 × 6371000     		dl = 413.987579999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82615335-0.82608837) × R
    6.49799999999923e-05 × 6371000     		dr = 413.987579999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31743815) × cos(0.82615335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677709323813318 × 6371000     		do = 413.936566600136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31743815) × cos(0.82608837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677757104119874 × 6371000     		du = 413.965750227027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82615335)-sin(0.82608837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677709323813318-0.677757104119874)×R²
    abs(-0.31743815--0.31753402)×4.77803065558335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77803065558335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77803065558335e-05×40589641000000     		ar = 171370.638369904m²