Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29455 / 20219
↖ ↑ ↗
← N 56.574615°
W 18.198853°		 ← 336.49 m → N 56.574615°
W 18.193359°		 →
↑
336.52 m
↓
↑
336.52 m
↓
N 56.571589°
W 18.198853°		 ← 336.51 m →
113 238 m²		 N 56.571589°
W 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449455261230469 y=0.308525085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449455261230469 × 216)
    floor (0.449455261230469 × 65536)
    floor (29455.5)     		tx = 29455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308525085449219 × 216)
    floor (0.308525085449219 × 65536)
    floor (20219.5)     		ty = 20219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29455 / 20219 ti = "16/29455/20219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29455/20219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29455 ÷ 216
    29455 ÷ 65536     		x = 0.449447631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20219 ÷ 216
    20219 ÷ 65536     		y = 0.308517456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449447631835938 × 2 - 1) × π
    -0.101104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31762990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308517456054688 × 2 - 1) × π
    0.382965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20312030666417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31762990} λ = -0.31762990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20312030666417))-π/2
    2×atan(3.33049288537043)-π/2
    2×1.27910481642579-π/2
    2.55820963285158-1.57079632675     		φ = 0.98741331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31762990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.198853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98741331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.574615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29455 KachelY 20219 -0.31762990 0.98741331 -18.198853 56.574615
    Oben rechts KachelX + 1 29456 KachelY 20219 -0.31753402 0.98741331 -18.193359 56.574615
    Unten links KachelX 29455 KachelY + 1 20220 -0.31762990 0.98736049 -18.198853 56.571589
    Unten rechts KachelX + 1 29456 KachelY + 1 20220 -0.31753402 0.98736049 -18.193359 56.571589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98741331-0.98736049) × R
    5.28199999999535e-05 × 6371000     		dl = 336.516219999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98741331-0.98736049) × R
    5.28199999999535e-05 × 6371000     		dr = 336.516219999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31762990--0.31753402) × cos(0.98741331) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.550850562577249 × 6371000     		do = 336.487881409314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31762990--0.31753402) × cos(0.98736049) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.550894645586417 × 6371000     		du = 336.514809580707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98741331)-sin(0.98736049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550850562577249-0.550894645586417)×R²
    abs(-0.31753402--0.31762990)×4.40830091683608e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.40830091683608e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.40830091683608e-05×40589641000000     		ar = 113238.160837089m²