Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29454 / 23058
↖ ↑ ↗
← N 46.972757°
W 18.204346°		 ← 416.77 m → N 46.972757°
W 18.198853°		 →
↑
416.79 m
↓
↑
416.79 m
↓
N 46.969008°
W 18.204346°		 ← 416.80 m →
173 711 m²		 N 46.969008°
W 18.198853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449440002441406 y=0.351844787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449440002441406 × 216)
    floor (0.449440002441406 × 65536)
    floor (29454.5)     		tx = 29454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351844787597656 × 216)
    floor (0.351844787597656 × 65536)
    floor (23058.5)     		ty = 23058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29454 / 23058 ti = "16/29454/23058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29454/23058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29454 ÷ 216
    29454 ÷ 65536     		x = 0.449432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23058 ÷ 216
    23058 ÷ 65536     		y = 0.351837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.10113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31772577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351837158203125 × 2 - 1) × π
    0.29632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.930934590621491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31772577} λ = -0.31772577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.930934590621491))-π/2
    2×atan(2.53687901336597)-π/2
    2×1.1953127923748-π/2
    2.39062558474959-1.57079632675     		φ = 0.81982926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31772577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.204346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81982926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.972757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29454 KachelY 23058 -0.31772577 0.81982926 -18.204346 46.972757
    Oben rechts KachelX + 1 29455 KachelY 23058 -0.31762990 0.81982926 -18.198853 46.972757
    Unten links KachelX 29454 KachelY + 1 23059 -0.31772577 0.81976384 -18.204346 46.969008
    Unten rechts KachelX + 1 29455 KachelY + 1 23059 -0.31762990 0.81976384 -18.198853 46.969008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81982926-0.81976384) × R
    6.54199999999827e-05 × 6371000     		dl = 416.79081999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81982926-0.81976384) × R
    6.54199999999827e-05 × 6371000     		dr = 416.79081999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31772577--0.31762990) × cos(0.81982926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682346033181868 × 6371000     		do = 416.76861197549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31772577--0.31762990) × cos(0.81976384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682393855660891 × 6371000     		du = 416.797821360809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81982926)-sin(0.81976384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682346033181868-0.682393855660891)×R²
    abs(-0.31762990--0.31772577)×4.78224790234627e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78224790234627e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78224790234627e-05×40589641000000     		ar = 173711.418699014m²