Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29454 / 23014
↖ ↑ ↗
← N 47.137425°
W 18.204346°		 ← 415.48 m → N 47.137425°
W 18.198853°		 →
↑
415.52 m
↓
↑
415.52 m
↓
N 47.133688°
W 18.204346°		 ← 415.51 m →
172 646 m²		 N 47.133688°
W 18.198853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449440002441406 y=0.351173400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449440002441406 × 216)
    floor (0.449440002441406 × 65536)
    floor (29454.5)     		tx = 29454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351173400878906 × 216)
    floor (0.351173400878906 × 65536)
    floor (23014.5)     		ty = 23014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29454 / 23014 ti = "16/29454/23014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29454/23014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29454 ÷ 216
    29454 ÷ 65536     		x = 0.449432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23014 ÷ 216
    23014 ÷ 65536     		y = 0.351165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.10113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31772577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351165771484375 × 2 - 1) × π
    0.29766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.935153037788055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31772577} λ = -0.31772577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935153037788055))-π/2
    2×atan(2.5476033074824)-π/2
    2×1.19674979388263-π/2
    2.39349958776527-1.57079632675     		φ = 0.82270326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31772577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.204346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82270326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.137425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29454 KachelY 23014 -0.31772577 0.82270326 -18.204346 47.137425
    Oben rechts KachelX + 1 29455 KachelY 23014 -0.31762990 0.82270326 -18.198853 47.137425
    Unten links KachelX 29454 KachelY + 1 23015 -0.31772577 0.82263804 -18.204346 47.133688
    Unten rechts KachelX + 1 29455 KachelY + 1 23015 -0.31762990 0.82263804 -18.198853 47.133688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82270326-0.82263804) × R
    6.5220000000088e-05 × 6371000     		dl = 415.516620000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82270326-0.82263804) × R
    6.5220000000088e-05 × 6371000     		dr = 415.516620000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31772577--0.31762990) × cos(0.82270326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680242239715849 × 6371000     		do = 415.48364065584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31772577--0.31762990) × cos(0.82263804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680290043705808 × 6371000     		du = 415.512838748264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82270326)-sin(0.82263804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680242239715849-0.680290043705808)×R²
    abs(-0.31762990--0.31772577)×4.78039899591831e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78039899591831e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78039899591831e-05×40589641000000     		ar = 172646.424238105m²