Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29453 / 23027
↖ ↑ ↗
← N 47.088826°
W 18.209839°		 ← 415.86 m → N 47.088826°
W 18.204346°		 →
↑
415.90 m
↓
↑
415.90 m
↓
N 47.085085°
W 18.209839°		 ← 415.89 m →
172 963 m²		 N 47.085085°
W 18.204346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449424743652344 y=0.351371765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449424743652344 × 216)
    floor (0.449424743652344 × 65536)
    floor (29453.5)     		tx = 29453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351371765136719 × 216)
    floor (0.351371765136719 × 65536)
    floor (23027.5)     		ty = 23027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29453 / 23027 ti = "16/29453/23027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29453/23027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29453 ÷ 216
    29453 ÷ 65536     		x = 0.449417114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23027 ÷ 216
    23027 ÷ 65536     		y = 0.351364135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449417114257812 × 2 - 1) × π
    -0.101165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31782164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351364135742188 × 2 - 1) × π
    0.297271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.933906678397934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31782164} λ = -0.31782164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933906678397934))-π/2
    2×atan(2.54443005609442)-π/2
    2×1.19632568708717-π/2
    2.39265137417434-1.57079632675     		φ = 0.82185505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31782164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.209839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82185505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.088826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29453 KachelY 23027 -0.31782164 0.82185505 -18.209839 47.088826
    Oben rechts KachelX + 1 29454 KachelY 23027 -0.31772577 0.82185505 -18.204346 47.088826
    Unten links KachelX 29453 KachelY + 1 23028 -0.31782164 0.82178977 -18.209839 47.085085
    Unten rechts KachelX + 1 29454 KachelY + 1 23028 -0.31772577 0.82178977 -18.204346 47.085085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82185505-0.82178977) × R
    6.52800000000564e-05 × 6371000     		dl = 415.898880000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82185505-0.82178977) × R
    6.52800000000564e-05 × 6371000     		dr = 415.898880000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31782164--0.31772577) × cos(0.82185505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680863722161016 × 6371000     		do = 415.863234532617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31782164--0.31772577) × cos(0.82178977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680911532443228 × 6371000     		du = 415.892436468273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82185505)-sin(0.82178977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680863722161016-0.680911532443228)×R²
    abs(-0.31772577--0.31782164)×4.7810282211791e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7810282211791e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7810282211791e-05×40589641000000     		ar = 172963.126062786m²