Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29451 / 23073
↖ ↑ ↗
← N 46.916504°
W 18.220825°		 ← 417.21 m → N 46.916504°
W 18.215332°		 →
↑
417.24 m
↓
↑
417.24 m
↓
N 46.912751°
W 18.220825°		 ← 417.24 m →
174 080 m²		 N 46.912751°
W 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449394226074219 y=0.352073669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449394226074219 × 216)
    floor (0.449394226074219 × 65536)
    floor (29451.5)     		tx = 29451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352073669433594 × 216)
    floor (0.352073669433594 × 65536)
    floor (23073.5)     		ty = 23073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29451 / 23073 ti = "16/29451/23073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29451/23073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29451 ÷ 216
    29451 ÷ 65536     		x = 0.449386596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23073 ÷ 216
    23073 ÷ 65536     		y = 0.352066040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449386596679688 × 2 - 1) × π
    -0.101226806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31801339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352066040039062 × 2 - 1) × π
    0.295867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.929496483632889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31801339} λ = -0.31801339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929496483632889))-π/2
    2×atan(2.53323333199586)-π/2
    2×1.19482189115642-π/2
    2.38964378231285-1.57079632675     		φ = 0.81884746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31801339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.220825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81884746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.916504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29451 KachelY 23073 -0.31801339 0.81884746 -18.220825 46.916504
    Oben rechts KachelX + 1 29452 KachelY 23073 -0.31791752 0.81884746 -18.215332 46.916504
    Unten links KachelX 29451 KachelY + 1 23074 -0.31801339 0.81878197 -18.220825 46.912751
    Unten rechts KachelX + 1 29452 KachelY + 1 23074 -0.31791752 0.81878197 -18.215332 46.912751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81884746-0.81878197) × R
    6.54900000000014e-05 × 6371000     		dl = 417.236790000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81884746-0.81878197) × R
    6.54900000000014e-05 × 6371000     		dr = 417.236790000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31801339--0.31791752) × cos(0.81884746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683063428801954 × 6371000     		do = 417.20678844649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31801339--0.31791752) × cos(0.81878197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683111258551758 × 6371000     		du = 417.236002272712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81884746)-sin(0.81878197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683063428801954-0.683111258551758)×R²
    abs(-0.31791752--0.31801339)×4.78297498037739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78297498037739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78297498037739e-05×40589641000000     		ar = 174080.115781756m²