Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29450 / 23060
↖ ↑ ↗
← N 46.965259°
W 18.226319°		 ← 416.87 m → N 46.965259°
W 18.220825°		 →
↑
416.85 m
↓
↑
416.85 m
↓
N 46.961511°
W 18.226319°		 ← 416.90 m →
173 780 m²		 N 46.961511°
W 18.220825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449378967285156 y=0.351875305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449378967285156 × 216)
    floor (0.449378967285156 × 65536)
    floor (29450.5)     		tx = 29450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351875305175781 × 216)
    floor (0.351875305175781 × 65536)
    floor (23060.5)     		ty = 23060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29450 / 23060 ti = "16/29450/23060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29450/23060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29450 ÷ 216
    29450 ÷ 65536     		x = 0.449371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23060 ÷ 216
    23060 ÷ 65536     		y = 0.35186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.10125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31810927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35186767578125 × 2 - 1) × π
    0.2962646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.93074284302301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31810927} λ = -0.31810927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93074284302301))-π/2
    2×atan(2.53639261954144)-π/2
    2×1.19524736868303-π/2
    2.39049473736605-1.57079632675     		φ = 0.81969841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31810927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.226319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81969841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.965259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29450 KachelY 23060 -0.31810927 0.81969841 -18.226319 46.965259
    Oben rechts KachelX + 1 29451 KachelY 23060 -0.31801339 0.81969841 -18.220825 46.965259
    Unten links KachelX 29450 KachelY + 1 23061 -0.31810927 0.81963298 -18.226319 46.961511
    Unten rechts KachelX + 1 29451 KachelY + 1 23061 -0.31801339 0.81963298 -18.220825 46.961511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81969841-0.81963298) × R
    6.5430000000033e-05 × 6371000     		dl = 416.85453000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81969841-0.81963298) × R
    6.5430000000033e-05 × 6371000     		dr = 416.85453000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31810927--0.31801339) × cos(0.81969841) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682441682528822 × 6371000     		do = 416.870511786389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31810927--0.31801339) × cos(0.81963298) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682489506475162 × 6371000     		du = 416.89972511479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81969841)-sin(0.81963298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682441682528822-0.682489506475162)×R²
    abs(-0.31801339--0.31810927)×4.78239463400643e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78239463400643e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78239463400643e-05×40589641000000     		ar = 173780.450177714m²