Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2945 / 897
↖ ↑ ↗
← N 83.023550°
W115.290527°		 ← 296.76 m → N 83.023550°
W115.268555°		 →
↑
296.82 m
↓
↑
296.82 m
↓
N 83.020881°
W115.290527°		 ← 296.88 m →
88 104 m²		 N 83.020881°
W115.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179779052734375 y=0.054779052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179779052734375 × 214)
    floor (0.179779052734375 × 16384)
    floor (2945.5)     		tx = 2945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.054779052734375 × 214)
    floor (0.054779052734375 × 16384)
    floor (897.5)     		ty = 897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2945 / 897 ti = "14/2945/897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2945/897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2945 ÷ 214
    2945 ÷ 16384     		x = 0.17974853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 897 ÷ 214
    897 ÷ 16384     		y = 0.05474853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17974853515625 × 2 - 1) × π
    -0.6405029296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.01219930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.05474853515625 × 2 - 1) × π
    0.8905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.79759746182648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01219930} λ = -2.01219930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.79759746182648))-π/2
    2×atan(16.4051853023036)-π/2
    2×1.50991532013721-π/2
    3.01983064027442-1.57079632675     		φ = 1.44903431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01219930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44903431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.023550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2945 KachelY 897 -2.01219930 1.44903431 -115.290527 83.023550
    Oben rechts KachelX + 1 2946 KachelY 897 -2.01181580 1.44903431 -115.268555 83.023550
    Unten links KachelX 2945 KachelY + 1 898 -2.01219930 1.44898772 -115.290527 83.020881
    Unten rechts KachelX + 1 2946 KachelY + 1 898 -2.01181580 1.44898772 -115.268555 83.020881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44903431-1.44898772) × R
    4.65899999999575e-05 × 6371000     		dl = 296.824889999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44903431-1.44898772) × R
    4.65899999999575e-05 × 6371000     		dr = 296.824889999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01219930--2.01181580) × cos(1.44903431) × R
    0.00038349999999987 × 0.121461366038825 × 6371000     		do = 296.763944223191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01219930--2.01181580) × cos(1.44898772) × R
    0.00038349999999987 × 0.121507610962072 × 6371000     		du = 296.876933449895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44903431)-sin(1.44898772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121461366038825-0.121507610962072)×R²
    abs(-2.01181580--2.01219930)×4.6244923247174e-05×R²
    0.00038349999999987×4.6244923247174e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.6244923247174e-05×40589641000000     		ar = 88103.6941217807m²