Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29448 / 23061
↖ ↑ ↗
← N 46.961511°
W 18.237304°		 ← 416.86 m → N 46.961511°
W 18.231812°		 →
↑
416.92 m
↓
↑
416.92 m
↓
N 46.957761°
W 18.237304°		 ← 416.89 m →
173 801 m²		 N 46.957761°
W 18.231812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449348449707031 y=0.351890563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449348449707031 × 216)
    floor (0.449348449707031 × 65536)
    floor (29448.5)     		tx = 29448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351890563964844 × 216)
    floor (0.351890563964844 × 65536)
    floor (23061.5)     		ty = 23061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29448 / 23061 ti = "16/29448/23061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29448/23061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29448 ÷ 216
    29448 ÷ 65536     		x = 0.4493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23061 ÷ 216
    23061 ÷ 65536     		y = 0.351882934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351882934570312 × 2 - 1) × π
    0.296234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.93064696922377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31830101} λ = -0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93064696922377))-π/2
    2×atan(2.53614945760126)-π/2
    2×1.19521465339834-π/2
    2.39042930679668-1.57079632675     		φ = 0.81963298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81963298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.961511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29448 KachelY 23061 -0.31830101 0.81963298 -18.237304 46.961511
    Oben rechts KachelX + 1 29449 KachelY 23061 -0.31820514 0.81963298 -18.231812 46.961511
    Unten links KachelX 29448 KachelY + 1 23062 -0.31830101 0.81956754 -18.237304 46.957761
    Unten rechts KachelX + 1 29449 KachelY + 1 23062 -0.31820514 0.81956754 -18.231812 46.957761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81963298-0.81956754) × R
    6.54399999999722e-05 × 6371000     		dl = 416.918239999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81963298-0.81956754) × R
    6.54399999999722e-05 × 6371000     		dr = 416.918239999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31830101--0.31820514) × cos(0.81963298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682489506475162 × 6371000     		do = 416.856243708356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31830101--0.31820514) × cos(0.81956754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682537334808214 × 6371000     		du = 416.885456669243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81963298)-sin(0.81956754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682489506475162-0.682537334808214)×R²
    abs(-0.31820514--0.31830101)×4.78283330517248e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78283330517248e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78283330517248e-05×40589641000000     		ar = 173801.061230015m²