Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29448 / 15539
↖ ↑ ↗
← N 68.295811°
W 18.237304°		 ← 225.88 m → N 68.295811°
W 18.231812°		 →
↑
225.92 m
↓
↑
225.92 m
↓
N 68.293779°
W 18.237304°		 ← 225.90 m →
51 032 m²		 N 68.293779°
W 18.231812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449348449707031 y=0.237113952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449348449707031 × 216)
    floor (0.449348449707031 × 65536)
    floor (29448.5)     		tx = 29448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237113952636719 × 216)
    floor (0.237113952636719 × 65536)
    floor (15539.5)     		ty = 15539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29448 / 15539 ti = "16/29448/15539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29448/15539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29448 ÷ 216
    29448 ÷ 65536     		x = 0.4493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15539 ÷ 216
    15539 ÷ 65536     		y = 0.237106323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237106323242188 × 2 - 1) × π
    0.525787353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65180968710789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31830101} λ = -0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65180968710789))-π/2
    2×atan(5.2164113629345)-π/2
    2×1.38139154690149-π/2
    2.76278309380298-1.57079632675     		φ = 1.19198677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19198677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.295811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29448 KachelY 15539 -0.31830101 1.19198677 -18.237304 68.295811
    Oben rechts KachelX + 1 29449 KachelY 15539 -0.31820514 1.19198677 -18.231812 68.295811
    Unten links KachelX 29448 KachelY + 1 15540 -0.31830101 1.19195131 -18.237304 68.293779
    Unten rechts KachelX + 1 29449 KachelY + 1 15540 -0.31820514 1.19195131 -18.231812 68.293779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19198677-1.19195131) × R
    3.54599999998761e-05 × 6371000     		dl = 225.915659999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19198677-1.19195131) × R
    3.54599999998761e-05 × 6371000     		dr = 225.915659999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31830101--0.31820514) × cos(1.19198677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369814684342985 × 6371000     		do = 225.878286363101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31830101--0.31820514) × cos(1.19195131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369847630192822 × 6371000     		du = 225.898409285253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19198677)-sin(1.19195131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369814684342985-0.369847630192822)×R²
    abs(-0.31820514--0.31830101)×3.29458498372071e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29458498372071e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29458498372071e-05×40589641000000     		ar = 51031.7151900123m²