Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29447 / 23037
↖ ↑ ↗
← N 47.051412°
W 18.242798°		 ← 416.20 m → N 47.051412°
W 18.237304°		 →
↑
416.22 m
↓
↑
416.22 m
↓
N 47.047668°
W 18.242798°		 ← 416.23 m →
173 235 m²		 N 47.047668°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449333190917969 y=0.351524353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449333190917969 × 216)
    floor (0.449333190917969 × 65536)
    floor (29447.5)     		tx = 29447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351524353027344 × 216)
    floor (0.351524353027344 × 65536)
    floor (23037.5)     		ty = 23037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29447 / 23037 ti = "16/29447/23037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29447/23037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29447 ÷ 216
    29447 ÷ 65536     		x = 0.449325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23037 ÷ 216
    23037 ÷ 65536     		y = 0.351516723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449325561523438 × 2 - 1) × π
    -0.101348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31839689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351516723632812 × 2 - 1) × π
    0.296966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.932947940405533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31839689} λ = -0.31839689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932947940405533))-π/2
    2×atan(2.54199178334976)-π/2
    2×1.19599918753155-π/2
    2.3919983750631-1.57079632675     		φ = 0.82120205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31839689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.242798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82120205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.051412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29447 KachelY 23037 -0.31839689 0.82120205 -18.242798 47.051412
    Oben rechts KachelX + 1 29448 KachelY 23037 -0.31830101 0.82120205 -18.237304 47.051412
    Unten links KachelX 29447 KachelY + 1 23038 -0.31839689 0.82113672 -18.242798 47.047668
    Unten rechts KachelX + 1 29448 KachelY + 1 23038 -0.31830101 0.82113672 -18.237304 47.047668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82120205-0.82113672) × R
    6.53299999999746e-05 × 6371000     		dl = 416.217429999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82120205-0.82113672) × R
    6.53299999999746e-05 × 6371000     		dr = 416.217429999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(0.82120205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.681341840775734 × 6371000     		do = 416.198671823749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(0.82113672) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.681389658619029 × 6371000     		du = 416.227881424096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82120205)-sin(0.82113672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681341840775734-0.681389658619029)×R²
    abs(-0.31830101--0.31839689)×4.78178432948839e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78178432948839e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78178432948839e-05×40589641000000     		ar = 173235.220389958m²