Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29447 / 19960
↖ ↑ ↗
← N 57.350237°
W 18.242798°		 ← 329.56 m → N 57.350237°
W 18.237304°		 →
↑
329.57 m
↓
↑
329.57 m
↓
N 57.347274°
W 18.242798°		 ← 329.58 m →
108 617 m²		 N 57.347274°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449333190917969 y=0.304573059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449333190917969 × 216)
    floor (0.449333190917969 × 65536)
    floor (29447.5)     		tx = 29447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304573059082031 × 216)
    floor (0.304573059082031 × 65536)
    floor (19960.5)     		ty = 19960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29447 / 19960 ti = "16/29447/19960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29447/19960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29447 ÷ 216
    29447 ÷ 65536     		x = 0.449325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19960 ÷ 216
    19960 ÷ 65536     		y = 0.3045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449325561523438 × 2 - 1) × π
    -0.101348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31839689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3045654296875 × 2 - 1) × π
    0.390869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22795162066736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31839689} λ = -0.31839689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22795162066736))-π/2
    2×atan(3.41422873301355)-π/2
    2×1.28587339877859-π/2
    2.57174679755718-1.57079632675     		φ = 1.00095047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31839689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.242798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00095047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.350237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29447 KachelY 19960 -0.31839689 1.00095047 -18.242798 57.350237
    Oben rechts KachelX + 1 29448 KachelY 19960 -0.31830101 1.00095047 -18.237304 57.350237
    Unten links KachelX 29447 KachelY + 1 19961 -0.31839689 1.00089874 -18.242798 57.347274
    Unten rechts KachelX + 1 29448 KachelY + 1 19961 -0.31830101 1.00089874 -18.237304 57.347274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00095047-1.00089874) × R
    5.17300000000276e-05 × 6371000     		dl = 329.571830000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00095047-1.00089874) × R
    5.17300000000276e-05 × 6371000     		dr = 329.571830000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(1.00095047) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.539502269008929 × 6371000     		do = 329.555759487437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(1.00089874) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.539545824126918 × 6371000     		du = 329.582365195722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00095047)-sin(1.00089874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539502269008929-0.539545824126918)×R²
    abs(-0.31830101--0.31839689)×4.3555117989369e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3555117989369e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3555117989369e-05×40589641000000     		ar = 108616.679011472m²