Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29447 / 19718
↖ ↑ ↗
← N 58.060444°
W 18.242798°		 ← 323.16 m → N 58.060444°
W 18.237304°		 →
↑
323.14 m
↓
↑
323.14 m
↓
N 58.057538°
W 18.242798°		 ← 323.18 m →
104 428 m²		 N 58.057538°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449333190917969 y=0.300880432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449333190917969 × 216)
    floor (0.449333190917969 × 65536)
    floor (29447.5)     		tx = 29447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300880432128906 × 216)
    floor (0.300880432128906 × 65536)
    floor (19718.5)     		ty = 19718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29447 / 19718 ti = "16/29447/19718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29447/19718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29447 ÷ 216
    29447 ÷ 65536     		x = 0.449325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19718 ÷ 216
    19718 ÷ 65536     		y = 0.300872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449325561523438 × 2 - 1) × π
    -0.101348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31839689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300872802734375 × 2 - 1) × π
    0.39825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25115308008347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31839689} λ = -0.31839689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25115308008347))-π/2
    2×atan(3.49436992367164)-π/2
    2×1.29207112352927-π/2
    2.58414224705854-1.57079632675     		φ = 1.01334592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31839689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.242798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01334592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.060444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29447 KachelY 19718 -0.31839689 1.01334592 -18.242798 58.060444
    Oben rechts KachelX + 1 29448 KachelY 19718 -0.31830101 1.01334592 -18.237304 58.060444
    Unten links KachelX 29447 KachelY + 1 19719 -0.31839689 1.01329520 -18.242798 58.057538
    Unten rechts KachelX + 1 29448 KachelY + 1 19719 -0.31830101 1.01329520 -18.237304 58.057538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01334592-1.01329520) × R
    5.07199999999486e-05 × 6371000     		dl = 323.137119999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01334592-1.01329520) × R
    5.07199999999486e-05 × 6371000     		dr = 323.137119999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(1.01334592) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.529024317919955 × 6371000     		do = 323.15528755737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(1.01329520) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.529067358569498 × 6371000     		du = 323.181579001844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01334592)-sin(1.01329520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529024317919955-0.529067358569498)×R²
    abs(-0.31830101--0.31839689)×4.30406495429692e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30406495429692e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30406495429692e-05×40589641000000     		ar = 104427.716827067m²