Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29447 / 13575
↖ ↑ ↗
← N 71.953479°
W 18.242798°		 ← 189.24 m → N 71.953479°
W 18.237304°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
N 71.951777°
W 18.242798°		 ← 189.25 m →
35 808 m²		 N 71.951777°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449333190917969 y=0.207145690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449333190917969 × 216)
    floor (0.449333190917969 × 65536)
    floor (29447.5)     		tx = 29447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207145690917969 × 216)
    floor (0.207145690917969 × 65536)
    floor (13575.5)     		ty = 13575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29447 / 13575 ti = "16/29447/13575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29447/13575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29447 ÷ 216
    29447 ÷ 65536     		x = 0.449325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13575 ÷ 216
    13575 ÷ 65536     		y = 0.207138061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449325561523438 × 2 - 1) × π
    -0.101348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31839689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207138061523438 × 2 - 1) × π
    0.585723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84010582881548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31839689} λ = -0.31839689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84010582881548))-π/2
    2×atan(6.29720465147345)-π/2
    2×1.41331072566139-π/2
    2.82662145132279-1.57079632675     		φ = 1.25582512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31839689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.242798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25582512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.953479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29447 KachelY 13575 -0.31839689 1.25582512 -18.242798 71.953479
    Oben rechts KachelX + 1 29448 KachelY 13575 -0.31830101 1.25582512 -18.237304 71.953479
    Unten links KachelX 29447 KachelY + 1 13576 -0.31839689 1.25579542 -18.242798 71.951777
    Unten rechts KachelX + 1 29448 KachelY + 1 13576 -0.31830101 1.25579542 -18.237304 71.951777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25582512-1.25579542) × R
    2.96999999997993e-05 × 6371000     		dl = 189.218699998722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25582512-1.25579542) × R
    2.96999999997993e-05 × 6371000     		dr = 189.218699998722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(1.25582512) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.309789094624031 × 6371000     		do = 189.235126938935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31839689--0.31830101) × cos(1.25579542) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.30981733340478 × 6371000     		du = 189.252376639948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25582512)-sin(1.25579542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309789094624031-0.30981733340478)×R²
    abs(-0.31830101--0.31839689)×2.82387807488682e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.82387807488682e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.82387807488682e-05×40589641000000     		ar = 35808.4566992738m²