Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29446 / 19724
↖ ↑ ↗
← N 58.043004°
W 18.248291°		 ← 323.28 m → N 58.043004°
W 18.242798°		 →
↑
323.33 m
↓
↑
323.33 m
↓
N 58.040096°
W 18.248291°		 ← 323.31 m →
104 530 m²		 N 58.040096°
W 18.242798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449317932128906 y=0.300971984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449317932128906 × 216)
    floor (0.449317932128906 × 65536)
    floor (29446.5)     		tx = 29446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300971984863281 × 216)
    floor (0.300971984863281 × 65536)
    floor (19724.5)     		ty = 19724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29446 / 19724 ti = "16/29446/19724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29446/19724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29446 ÷ 216
    29446 ÷ 65536     		x = 0.449310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19724 ÷ 216
    19724 ÷ 65536     		y = 0.30096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.10137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31849276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30096435546875 × 2 - 1) × π
    0.3980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25057783728802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31849276} λ = -0.31849276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25057783728802))-π/2
    2×atan(3.49236039058857)-π/2
    2×1.29191892767338-π/2
    2.58383785534676-1.57079632675     		φ = 1.01304153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31849276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.248291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01304153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.043004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29446 KachelY 19724 -0.31849276 1.01304153 -18.248291 58.043004
    Oben rechts KachelX + 1 29447 KachelY 19724 -0.31839689 1.01304153 -18.242798 58.043004
    Unten links KachelX 29446 KachelY + 1 19725 -0.31849276 1.01299078 -18.248291 58.040096
    Unten rechts KachelX + 1 29447 KachelY + 1 19725 -0.31839689 1.01299078 -18.242798 58.040096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01304153-1.01299078) × R
    5.07499999999883e-05 × 6371000     		dl = 323.328249999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01304153-1.01299078) × R
    5.07499999999883e-05 × 6371000     		dr = 323.328249999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31849276--0.31839689) × cos(1.01304153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.529282600790659 × 6371000     		do = 323.27933943672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31849276--0.31839689) × cos(1.01299078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.529325658723011 × 6371000     		du = 323.305638695202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01304153)-sin(1.01299078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529282600790659-0.529325658723011)×R²
    abs(-0.31839689--0.31849276)×4.3057932352264e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3057932352264e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3057932352264e-05×40589641000000     		ar = 104529.594750236m²