Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29444 / 20221
↖ ↑ ↗
← N 56.568563°
W 18.259277°		 ← 336.54 m → N 56.568563°
W 18.253784°		 →
↑
336.52 m
↓
↑
336.52 m
↓
N 56.565536°
W 18.259277°		 ← 336.57 m →
113 256 m²		 N 56.565536°
W 18.253784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449287414550781 y=0.308555603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449287414550781 × 216)
    floor (0.449287414550781 × 65536)
    floor (29444.5)     		tx = 29444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308555603027344 × 216)
    floor (0.308555603027344 × 65536)
    floor (20221.5)     		ty = 20221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29444 / 20221 ti = "16/29444/20221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29444/20221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29444 ÷ 216
    29444 ÷ 65536     		x = 0.44927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20221 ÷ 216
    20221 ÷ 65536     		y = 0.308547973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308547973632812 × 2 - 1) × π
    0.382904052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20292855906569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31868451} λ = -0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20292855906569))-π/2
    2×atan(3.32985433258034)-π/2
    2×1.27905200006325-π/2
    2.5581040001265-1.57079632675     		φ = 0.98730767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98730767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.568563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29444 KachelY 20221 -0.31868451 0.98730767 -18.259277 56.568563
    Oben rechts KachelX + 1 29445 KachelY 20221 -0.31858863 0.98730767 -18.253784 56.568563
    Unten links KachelX 29444 KachelY + 1 20222 -0.31868451 0.98725485 -18.259277 56.565536
    Unten rechts KachelX + 1 29445 KachelY + 1 20222 -0.31858863 0.98725485 -18.253784 56.565536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98730767-0.98725485) × R
    5.28199999999535e-05 × 6371000     		dl = 336.516219999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98730767-0.98725485) × R
    5.28199999999535e-05 × 6371000     		dr = 336.516219999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31868451--0.31858863) × cos(0.98730767) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.550938727058616 × 6371000     		do = 336.541736813046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31868451--0.31858863) × cos(0.98725485) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.550982806993721 × 6371000     		du = 336.568663106643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98730767)-sin(0.98725485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550938727058616-0.550982806993721)×R²
    abs(-0.31858863--0.31868451)×4.40799351056897e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40799351056897e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40799351056897e-05×40589641000000     		ar = 113256.283738143m²