Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29443 / 23055
↖ ↑ ↗
← N 46.984000°
W 18.264770°		 ← 416.68 m → N 46.984000°
W 18.259277°		 →
↑
416.66 m
↓
↑
416.66 m
↓
N 46.980253°
W 18.264770°		 ← 416.71 m →
173 622 m²		 N 46.980253°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449272155761719 y=0.351799011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449272155761719 × 216)
    floor (0.449272155761719 × 65536)
    floor (29443.5)     		tx = 29443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351799011230469 × 216)
    floor (0.351799011230469 × 65536)
    floor (23055.5)     		ty = 23055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29443 / 23055 ti = "16/29443/23055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29443/23055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29443 ÷ 216
    29443 ÷ 65536     		x = 0.449264526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23055 ÷ 216
    23055 ÷ 65536     		y = 0.351791381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449264526367188 × 2 - 1) × π
    -0.101470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31878038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351791381835938 × 2 - 1) × π
    0.296417236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.931222212019211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31878038} λ = -0.31878038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931222212019211))-π/2
    2×atan(2.53760877899672)-π/2
    2×1.19541091071875-π/2
    2.3908218214375-1.57079632675     		φ = 0.82002549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31878038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.264770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82002549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.984000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29443 KachelY 23055 -0.31878038 0.82002549 -18.264770 46.984000
    Oben rechts KachelX + 1 29444 KachelY 23055 -0.31868451 0.82002549 -18.259277 46.984000
    Unten links KachelX 29443 KachelY + 1 23056 -0.31878038 0.81996009 -18.264770 46.980253
    Unten rechts KachelX + 1 29444 KachelY + 1 23056 -0.31868451 0.81996009 -18.259277 46.980253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82002549-0.81996009) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dl = 416.663399999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82002549-0.81996009) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dr = 416.663399999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31878038--0.31868451) × cos(0.82002549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682202570158783 × 6371000     		do = 416.680986515542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31878038--0.31868451) × cos(0.81996009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682250386774346 × 6371000     		du = 416.710192319531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82002549)-sin(0.81996009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682202570158783-0.682250386774346)×R²
    abs(-0.31868451--0.31878038)×4.7816615563856e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7816615563856e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7816615563856e-05×40589641000000     		ar = 173621.801113528m²