Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29443 / 22653
↖ ↑ ↗
← N 48.469279°
W 18.264770°		 ← 404.97 m → N 48.469279°
W 18.259277°		 →
↑
405 m
↓
↑
405 m
↓
N 48.465637°
W 18.264770°		 ← 404.99 m →
164 019 m²		 N 48.465637°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449272155761719 y=0.345664978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449272155761719 × 216)
    floor (0.449272155761719 × 65536)
    floor (29443.5)     		tx = 29443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345664978027344 × 216)
    floor (0.345664978027344 × 65536)
    floor (22653.5)     		ty = 22653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29443 / 22653 ti = "16/29443/22653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29443/22653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29443 ÷ 216
    29443 ÷ 65536     		x = 0.449264526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22653 ÷ 216
    22653 ÷ 65536     		y = 0.345657348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449264526367188 × 2 - 1) × π
    -0.101470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31878038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345657348632812 × 2 - 1) × π
    0.308685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.969763479313736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31878038} λ = -0.31878038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969763479313736))-π/2
    2×atan(2.63732060470047)-π/2
    2×1.20837241846494-π/2
    2.41674483692988-1.57079632675     		φ = 0.84594851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31878038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.264770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84594851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.469279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29443 KachelY 22653 -0.31878038 0.84594851 -18.264770 48.469279
    Oben rechts KachelX + 1 29444 KachelY 22653 -0.31868451 0.84594851 -18.259277 48.469279
    Unten links KachelX 29443 KachelY + 1 22654 -0.31878038 0.84588494 -18.264770 48.465637
    Unten rechts KachelX + 1 29444 KachelY + 1 22654 -0.31868451 0.84588494 -18.259277 48.465637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84594851-0.84588494) × R
    6.35700000000128e-05 × 6371000     		dl = 405.004470000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84594851-0.84588494) × R
    6.35700000000128e-05 × 6371000     		dr = 405.004470000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31878038--0.31868451) × cos(0.84594851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663021525943718 × 6371000     		do = 404.965439293152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31878038--0.31868451) × cos(0.84588494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663069113127069 × 6371000     		du = 404.994504962751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84594851)-sin(0.84588494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663021525943718-0.663069113127069)×R²
    abs(-0.31868451--0.31878038)×4.7587183350406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7587183350406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7587183350406e-05×40589641000000     		ar = 164018.699027506m²