Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29443 / 20227
↖ ↑ ↗
← N 56.550400°
W 18.264770°		 ← 336.67 m → N 56.550400°
W 18.259277°		 →
↑
336.64 m
↓
↑
336.64 m
↓
N 56.547372°
W 18.264770°		 ← 336.70 m →
113 342 m²		 N 56.547372°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449272155761719 y=0.308647155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449272155761719 × 216)
    floor (0.449272155761719 × 65536)
    floor (29443.5)     		tx = 29443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308647155761719 × 216)
    floor (0.308647155761719 × 65536)
    floor (20227.5)     		ty = 20227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29443 / 20227 ti = "16/29443/20227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29443/20227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29443 ÷ 216
    29443 ÷ 65536     		x = 0.449264526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20227 ÷ 216
    20227 ÷ 65536     		y = 0.308639526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449264526367188 × 2 - 1) × π
    -0.101470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31878038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308639526367188 × 2 - 1) × π
    0.382720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20235331627025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31878038} λ = -0.31878038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20235331627025))-π/2
    2×atan(3.32793940869155)-π/2
    2×1.2788935002578-π/2
    2.5577870005156-1.57079632675     		φ = 0.98699067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31878038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.264770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98699067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.550400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29443 KachelY 20227 -0.31878038 0.98699067 -18.264770 56.550400
    Oben rechts KachelX + 1 29444 KachelY 20227 -0.31868451 0.98699067 -18.259277 56.550400
    Unten links KachelX 29443 KachelY + 1 20228 -0.31878038 0.98693783 -18.264770 56.547372
    Unten rechts KachelX + 1 29444 KachelY + 1 20228 -0.31868451 0.98693783 -18.259277 56.547372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98699067-0.98693783) × R
    5.28399999999429e-05 × 6371000     		dl = 336.643639999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98699067-0.98693783) × R
    5.28399999999429e-05 × 6371000     		dr = 336.643639999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31878038--0.31868451) × cos(0.98699067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551203250358236 × 6371000     		do = 336.668204103051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31878038--0.31868451) × cos(0.98693783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551247337752711 × 6371000     		du = 336.695132144408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98699067)-sin(0.98693783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551203250358236-0.551247337752711)×R²
    abs(-0.31868451--0.31878038)×4.40873944748121e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40873944748121e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40873944748121e-05×40589641000000     		ar = 113341.742304485m²