Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29442 / 20223
↖ ↑ ↗
← N 56.562509°
W 18.270264°		 ← 336.60 m → N 56.562509°
W 18.264770°		 →
↑
336.58 m
↓
↑
336.58 m
↓
N 56.559482°
W 18.270264°		 ← 336.62 m →
113 296 m²		 N 56.559482°
W 18.264770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449256896972656 y=0.308586120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449256896972656 × 216)
    floor (0.449256896972656 × 65536)
    floor (29442.5)     		tx = 29442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308586120605469 × 216)
    floor (0.308586120605469 × 65536)
    floor (20223.5)     		ty = 20223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29442 / 20223 ti = "16/29442/20223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29442/20223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29442 ÷ 216
    29442 ÷ 65536     		x = 0.449249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20223 ÷ 216
    20223 ÷ 65536     		y = 0.308578491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.10150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31887626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308578491210938 × 2 - 1) × π
    0.382843017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20273681146721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31887626} λ = -0.31887626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20273681146721))-π/2
    2×atan(3.32921590221948)-π/2
    2×1.27899917524825-π/2
    2.55799835049649-1.57079632675     		φ = 0.98720202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31887626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.270264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98720202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.562509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29442 KachelY 20223 -0.31887626 0.98720202 -18.270264 56.562509
    Oben rechts KachelX + 1 29443 KachelY 20223 -0.31878038 0.98720202 -18.264770 56.562509
    Unten links KachelX 29442 KachelY + 1 20224 -0.31887626 0.98714919 -18.270264 56.559482
    Unten rechts KachelX + 1 29443 KachelY + 1 20224 -0.31878038 0.98714919 -18.264770 56.559482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98720202-0.98714919) × R
    5.28300000000037e-05 × 6371000     		dl = 336.579930000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98720202-0.98714919) × R
    5.28300000000037e-05 × 6371000     		dr = 336.579930000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31887626--0.31878038) × cos(0.98720202) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.551026893736486 × 6371000     		do = 336.595593558905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31887626--0.31878038) × cos(0.98714919) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.55107097894133 × 6371000     		du = 336.622523071529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98720202)-sin(0.98714919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551026893736486-0.55107097894133)×R²
    abs(-0.31878038--0.31887626)×4.40852048438911e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.40852048438911e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.40852048438911e-05×40589641000000     		ar = 113295.853311306m²