Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29442 / 19959
↖ ↑ ↗
← N 57.353201°
W 18.270264°		 ← 329.53 m → N 57.353201°
W 18.264770°		 →
↑
329.51 m
↓
↑
329.51 m
↓
N 57.350237°
W 18.270264°		 ← 329.56 m →
108 587 m²		 N 57.350237°
W 18.264770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449256896972656 y=0.304557800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449256896972656 × 216)
    floor (0.449256896972656 × 65536)
    floor (29442.5)     		tx = 29442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304557800292969 × 216)
    floor (0.304557800292969 × 65536)
    floor (19959.5)     		ty = 19959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29442 / 19959 ti = "16/29442/19959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29442/19959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29442 ÷ 216
    29442 ÷ 65536     		x = 0.449249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19959 ÷ 216
    19959 ÷ 65536     		y = 0.304550170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.10150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31887626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304550170898438 × 2 - 1) × π
    0.390899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2280474944666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31887626} λ = -0.31887626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2280474944666))-π/2
    2×atan(3.41455608378559)-π/2
    2×1.28589925980084-π/2
    2.57179851960169-1.57079632675     		φ = 1.00100219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31887626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.270264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00100219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.353201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29442 KachelY 19959 -0.31887626 1.00100219 -18.270264 57.353201
    Oben rechts KachelX + 1 29443 KachelY 19959 -0.31878038 1.00100219 -18.264770 57.353201
    Unten links KachelX 29442 KachelY + 1 19960 -0.31887626 1.00095047 -18.270264 57.350237
    Unten rechts KachelX + 1 29443 KachelY + 1 19960 -0.31878038 1.00095047 -18.264770 57.350237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00100219-1.00095047) × R
    5.17199999998663e-05 × 6371000     		dl = 329.508119999148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00100219-1.00095047) × R
    5.17199999998663e-05 × 6371000     		dr = 329.508119999148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31887626--0.31878038) × cos(1.00100219) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.539458720867356 × 6371000     		do = 329.529158040897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31887626--0.31878038) × cos(1.00095047) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.539502269008929 × 6371000     		du = 329.555759487628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00100219)-sin(1.00095047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539458720867356-0.539502269008929)×R²
    abs(-0.31878038--0.31887626)×4.35481415729244e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.35481415729244e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.35481415729244e-05×40589641000000     		ar = 108586.91607167m²