Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29440 / 23808
↖ ↑ ↗
← N 74.590108°
W 99.140625°		 ← 81.16 m → N 74.590108°
W 99.137878°		 →
↑
81.10 m
↓
↑
81.10 m
↓
N 74.589378°
W 99.140625°		 ← 81.16 m →
6 582 m²		 N 74.589378°
W 99.137878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224613189697266 y=0.181644439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224613189697266 × 217)
    floor (0.224613189697266 × 131072)
    floor (29440.5)     		tx = 29440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.181644439697266 × 217)
    floor (0.181644439697266 × 131072)
    floor (23808.5)     		ty = 23808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29440 / 23808 ti = "17/29440/23808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29440/23808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29440 ÷ 217
    29440 ÷ 131072     		x = 0.224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23808 ÷ 217
    23808 ÷ 131072     		y = 0.181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224609375 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.181640625 × 2 - 1) × π
    0.63671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0003109473457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73033033} λ = -1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0003109473457))-π/2
    2×atan(7.39135406356635)-π/2
    2×1.43631965047593-π/2
    2.87263930095186-1.57079632675     		φ = 1.30184297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30184297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.590108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29440 KachelY 23808 -1.73033033 1.30184297 -99.140625 74.590108
    Oben rechts KachelX + 1 29441 KachelY 23808 -1.73028239 1.30184297 -99.137878 74.590108
    Unten links KachelX 29440 KachelY + 1 23809 -1.73033033 1.30183024 -99.140625 74.589378
    Unten rechts KachelX + 1 29441 KachelY + 1 23809 -1.73028239 1.30183024 -99.137878 74.589378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30184297-1.30183024) × R
    1.27300000001274e-05 × 6371000     		dl = 81.1028300008114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30184297-1.30183024) × R
    1.27300000001274e-05 × 6371000     		dr = 81.1028300008114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73033033--1.73028239) × cos(1.30184297) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.26572256651598 × 6371000     		do = 81.1585115127892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73033033--1.73028239) × cos(1.30183024) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.265734838845107 × 6371000     		du = 81.1622597979944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30184297)-sin(1.30183024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.26572256651598-0.265734838845107)×R²
    abs(-1.73028239--1.73033033)×1.22723291270943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.22723291270943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.22723291270943e-05×40589641000000     		ar = 6582.33696074341m²