Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29440 / 23046
↖ ↑ ↗
← N 47.017717°
W 18.281250°		 ← 416.42 m → N 47.017717°
W 18.275757°		 →
↑
416.47 m
↓
↑
416.47 m
↓
N 47.013971°
W 18.281250°		 ← 416.45 m →
173 433 m²		 N 47.013971°
W 18.275757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449226379394531 y=0.351661682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449226379394531 × 216)
    floor (0.449226379394531 × 65536)
    floor (29440.5)     		tx = 29440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351661682128906 × 216)
    floor (0.351661682128906 × 65536)
    floor (23046.5)     		ty = 23046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29440 / 23046 ti = "16/29440/23046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29440/23046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29440 ÷ 216
    29440 ÷ 65536     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23046 ÷ 216
    23046 ÷ 65536     		y = 0.351654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351654052734375 × 2 - 1) × π
    0.29669189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.932085076212372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932085076212372))-π/2
    2×atan(2.53979933568892)-π/2
    2×1.19570514196123-π/2
    2.39141028392245-1.57079632675     		φ = 0.82061396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82061396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.017717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29440 KachelY 23046 -0.31906800 0.82061396 -18.281250 47.017717
    Oben rechts KachelX + 1 29441 KachelY 23046 -0.31897213 0.82061396 -18.275757 47.017717
    Unten links KachelX 29440 KachelY + 1 23047 -0.31906800 0.82054859 -18.281250 47.013971
    Unten rechts KachelX + 1 29441 KachelY + 1 23047 -0.31897213 0.82054859 -18.275757 47.013971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82061396-0.82054859) × R
    6.53699999999535e-05 × 6371000     		dl = 416.472269999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82061396-0.82054859) × R
    6.53699999999535e-05 × 6371000     		dr = 416.472269999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31897213) × cos(0.82061396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681772184441622 × 6371000     		do = 416.418112183118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31897213) × cos(0.82054859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681820005359432 × 6371000     		du = 416.447320614866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82061396)-sin(0.82054859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681772184441622-0.681820005359432)×R²
    abs(-0.31897213--0.31906800)×4.78209178098599e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78209178098599e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78209178098599e-05×40589641000000     		ar = 173432.678762483m²