Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29439 / 15648
↖ ↑ ↗
← N 68.073305°
W 18.286743°		 ← 228.10 m → N 68.073305°
W 18.281250°		 →
↑
228.08 m
↓
↑
228.08 m
↓
N 68.071254°
W 18.286743°		 ← 228.12 m →
52 029 m²		 N 68.071254°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449211120605469 y=0.238777160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449211120605469 × 216)
    floor (0.449211120605469 × 65536)
    floor (29439.5)     		tx = 29439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238777160644531 × 216)
    floor (0.238777160644531 × 65536)
    floor (15648.5)     		ty = 15648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29439 / 15648 ti = "16/29439/15648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29439/15648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29439 ÷ 216
    29439 ÷ 65536     		x = 0.449203491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15648 ÷ 216
    15648 ÷ 65536     		y = 0.23876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449203491210938 × 2 - 1) × π
    -0.101593017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31916388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23876953125 × 2 - 1) × π
    0.5224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31916388} λ = -0.31916388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64135944299072))-π/2
    2×atan(5.16218243704978)-π/2
    2×1.37944981360882-π/2
    2.75889962721763-1.57079632675     		φ = 1.18810330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31916388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.286743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18810330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.073305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29439 KachelY 15648 -0.31916388 1.18810330 -18.286743 68.073305
    Oben rechts KachelX + 1 29440 KachelY 15648 -0.31906800 1.18810330 -18.281250 68.073305
    Unten links KachelX 29439 KachelY + 1 15649 -0.31916388 1.18806750 -18.286743 68.071254
    Unten rechts KachelX + 1 29440 KachelY + 1 15649 -0.31906800 1.18806750 -18.281250 68.071254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18810330-1.18806750) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dl = 228.081800000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18810330-1.18806750) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dr = 228.081800000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31916388--0.31906800) × cos(1.18810330) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.373420040107369 × 6371000     		do = 228.104184161228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31916388--0.31906800) × cos(1.18806750) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.373453250180931 × 6371000     		du = 228.124470583814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18810330)-sin(1.18806750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373420040107369-0.373453250180931)×R²
    abs(-0.31906800--0.31916388)×3.32100735618845e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.32100735618845e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.32100735618845e-05×40589641000000     		ar = 52028.7263982258m²