Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29438 / 20226
↖ ↑ ↗
← N 56.553428°
W 18.292236°		 ← 336.64 m → N 56.553428°
W 18.286743°		 →
↑
336.71 m
↓
↑
336.71 m
↓
N 56.550400°
W 18.292236°		 ← 336.67 m →
113 354 m²		 N 56.550400°
W 18.286743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449195861816406 y=0.308631896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449195861816406 × 216)
    floor (0.449195861816406 × 65536)
    floor (29438.5)     		tx = 29438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308631896972656 × 216)
    floor (0.308631896972656 × 65536)
    floor (20226.5)     		ty = 20226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29438 / 20226 ti = "16/29438/20226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29438/20226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29438 ÷ 216
    29438 ÷ 65536     		x = 0.449188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20226 ÷ 216
    20226 ÷ 65536     		y = 0.308624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.10162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31925975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308624267578125 × 2 - 1) × π
    0.38275146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20244919006949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31925975} λ = -0.31925975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20244919006949))-π/2
    2×atan(3.32825848618164)-π/2
    2×1.2789199221757-π/2
    2.55783984435141-1.57079632675     		φ = 0.98704352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31925975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.292236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98704352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.553428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29438 KachelY 20226 -0.31925975 0.98704352 -18.292236 56.553428
    Oben rechts KachelX + 1 29439 KachelY 20226 -0.31916388 0.98704352 -18.286743 56.553428
    Unten links KachelX 29438 KachelY + 1 20227 -0.31925975 0.98699067 -18.292236 56.550400
    Unten rechts KachelX + 1 29439 KachelY + 1 20227 -0.31916388 0.98699067 -18.286743 56.550400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98704352-0.98699067) × R
    5.28499999999932e-05 × 6371000     		dl = 336.707349999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98704352-0.98699067) × R
    5.28499999999932e-05 × 6371000     		dr = 336.707349999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31925975--0.31916388) × cos(0.98704352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551159153080764 × 6371000     		do = 336.641270025281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31925975--0.31916388) × cos(0.98699067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551203250358236 × 6371000     		du = 336.668204103051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98704352)-sin(0.98699067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551159153080764-0.551203250358236)×R²
    abs(-0.31916388--0.31925975)×4.40972774717885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40972774717885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40972774717885e-05×40589641000000     		ar = 113354.124408427m²