Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29436 / 21260
↖ ↑ ↗
← N 76.344117°
W 99.151612°		 ← 72.11 m → N 76.344117°
W 99.148865°		 →
↑
72.12 m
↓
↑
72.12 m
↓
N 76.343469°
W 99.151612°		 ← 72.11 m →
5 201 m²		 N 76.343469°
W 99.148865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224582672119141 y=0.162204742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224582672119141 × 217)
    floor (0.224582672119141 × 131072)
    floor (29436.5)     		tx = 29436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162204742431641 × 217)
    floor (0.162204742431641 × 131072)
    floor (21260.5)     		ty = 21260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29436 / 21260 ti = "17/29436/21260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29436/21260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29436 ÷ 217
    29436 ÷ 131072     		x = 0.224578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21260 ÷ 217
    21260 ÷ 131072     		y = 0.162200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.55084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73052208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162200927734375 × 2 - 1) × π
    0.67559814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12245416757761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73052208} λ = -1.73052208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12245416757761))-π/2
    2×atan(8.35160860469569)-π/2
    2×1.45162626926504-π/2
    2.90325253853008-1.57079632675     		φ = 1.33245621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73052208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.151612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33245621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.344117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29436 KachelY 21260 -1.73052208 1.33245621 -99.151612 76.344117
    Oben rechts KachelX + 1 29437 KachelY 21260 -1.73047414 1.33245621 -99.148865 76.344117
    Unten links KachelX 29436 KachelY + 1 21261 -1.73052208 1.33244489 -99.151612 76.343469
    Unten rechts KachelX + 1 29437 KachelY + 1 21261 -1.73047414 1.33244489 -99.148865 76.343469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33245621-1.33244489) × R
    1.13199999998148e-05 × 6371000     		dl = 72.1197199988202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33245621-1.33244489) × R
    1.13199999998148e-05 × 6371000     		dr = 72.1197199988202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73052208--1.73047414) × cos(1.33245621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236089992116054 × 6371000     		do = 72.1079605485927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73052208--1.73047414) × cos(1.33244489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236100992098056 × 6371000     		du = 72.1113202262357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33245621)-sin(1.33244489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236089992116054-0.236100992098056)×R²
    abs(-1.73047414--1.73052208)×1.09999820021023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09999820021023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09999820021023e-05×40589641000000     		ar = 5200.52707402469m²