Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29436 / 20229
↖ ↑ ↗
← N 56.544344°
W 18.303223°		 ← 336.72 m → N 56.544344°
W 18.297730°		 →
↑
336.71 m
↓
↑
336.71 m
↓
N 56.541316°
W 18.303223°		 ← 336.75 m →
113 381 m²		 N 56.541316°
W 18.297730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449165344238281 y=0.308677673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449165344238281 × 216)
    floor (0.449165344238281 × 65536)
    floor (29436.5)     		tx = 29436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308677673339844 × 216)
    floor (0.308677673339844 × 65536)
    floor (20229.5)     		ty = 20229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29436 / 20229 ti = "16/29436/20229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29436/20229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29436 ÷ 216
    29436 ÷ 65536     		x = 0.44915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20229 ÷ 216
    20229 ÷ 65536     		y = 0.308670043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308670043945312 × 2 - 1) × π
    0.382659912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20216156867177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31945150} λ = -0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20216156867177))-π/2
    2×atan(3.32730134547754)-π/2
    2×1.27884065008083-π/2
    2.55768130016165-1.57079632675     		φ = 0.98688497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98688497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.544344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29436 KachelY 20229 -0.31945150 0.98688497 -18.303223 56.544344
    Oben rechts KachelX + 1 29437 KachelY 20229 -0.31935563 0.98688497 -18.297730 56.544344
    Unten links KachelX 29436 KachelY + 1 20230 -0.31945150 0.98683212 -18.303223 56.541316
    Unten rechts KachelX + 1 29437 KachelY + 1 20230 -0.31935563 0.98683212 -18.297730 56.541316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98688497-0.98683212) × R
    5.28499999999932e-05 × 6371000     		dl = 336.707349999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98688497-0.98683212) × R
    5.28499999999932e-05 × 6371000     		dr = 336.707349999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31945150--0.31935563) × cos(0.98688497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551291440294322 × 6371000     		do = 336.72206943745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31945150--0.31935563) × cos(0.98683212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55133553295269 × 6371000     		du = 336.749000693928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98688497)-sin(0.98683212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551291440294322-0.55133553295269)×R²
    abs(-0.31935563--0.31945150)×4.40926583676893e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40926583676893e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40926583676893e-05×40589641000000     		ar = 113381.329689218m²