Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29435 / 18891
↖ ↑ ↗
← N 60.384005°
W 18.308716°		 ← 301.84 m → N 60.384005°
W 18.303223°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
N 60.381290°
W 18.308716°		 ← 301.87 m →
91 117 m²		 N 60.381290°
W 18.303223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449150085449219 y=0.288261413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449150085449219 × 216)
    floor (0.449150085449219 × 65536)
    floor (29435.5)     		tx = 29435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288261413574219 × 216)
    floor (0.288261413574219 × 65536)
    floor (18891.5)     		ty = 18891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29435 / 18891 ti = "16/29435/18891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29435/18891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29435 ÷ 216
    29435 ÷ 65536     		x = 0.449142456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18891 ÷ 216
    18891 ÷ 65536     		y = 0.288253784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449142456054688 × 2 - 1) × π
    -0.101715087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31954737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288253784179688 × 2 - 1) × π
    0.423492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.33044071205504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31954737} λ = -0.31954737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33044071205504))-π/2
    2×atan(3.78271010621483)-π/2
    2×1.31234801504272-π/2
    2.62469603008544-1.57079632675     		φ = 1.05389970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31954737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.308716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05389970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.384005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29435 KachelY 18891 -0.31954737 1.05389970 -18.308716 60.384005
    Oben rechts KachelX + 1 29436 KachelY 18891 -0.31945150 1.05389970 -18.303223 60.384005
    Unten links KachelX 29435 KachelY + 1 18892 -0.31954737 1.05385232 -18.308716 60.381290
    Unten rechts KachelX + 1 29436 KachelY + 1 18892 -0.31945150 1.05385232 -18.303223 60.381290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05389970-1.05385232) × R
    4.73800000000413e-05 × 6371000     		dl = 301.857980000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05389970-1.05385232) × R
    4.73800000000413e-05 × 6371000     		dr = 301.857980000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31954737--0.31945150) × cos(1.05389970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.494184582671784 × 6371000     		do = 301.841899218473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31954737--0.31945150) × cos(1.05385232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.49422577225187 × 6371000     		du = 301.867057310241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05389970)-sin(1.05385232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494184582671784-0.49422577225187)×R²
    abs(-0.31945150--0.31954737)×4.11895800867534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11895800867534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11895800867534e-05×40589641000000     		ar = 91117.1830796288m²