Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29434 / 13563
↖ ↑ ↗
← N 71.973889°
W 18.314209°		 ← 189.03 m → N 71.973889°
W 18.308716°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
N 71.972189°
W 18.314209°		 ← 189.05 m →
35 733 m²		 N 71.972189°
W 18.308716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449134826660156 y=0.206962585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449134826660156 × 216)
    floor (0.449134826660156 × 65536)
    floor (29434.5)     		tx = 29434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206962585449219 × 216)
    floor (0.206962585449219 × 65536)
    floor (13563.5)     		ty = 13563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29434 / 13563 ti = "16/29434/13563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29434/13563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29434 ÷ 216
    29434 ÷ 65536     		x = 0.449127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13563 ÷ 216
    13563 ÷ 65536     		y = 0.206954956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.10174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31964325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206954956054688 × 2 - 1) × π
    0.586090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84125631440636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31964325} λ = -0.31964325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84125631440636))-π/2
    2×atan(6.30445366383036)-π/2
    2×1.41348883216791-π/2
    2.82697766433582-1.57079632675     		φ = 1.25618134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31964325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.314209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25618134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.973889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29434 KachelY 13563 -0.31964325 1.25618134 -18.314209 71.973889
    Oben rechts KachelX + 1 29435 KachelY 13563 -0.31954737 1.25618134 -18.308716 71.973889
    Unten links KachelX 29434 KachelY + 1 13564 -0.31964325 1.25615167 -18.314209 71.972189
    Unten rechts KachelX + 1 29435 KachelY + 1 13564 -0.31954737 1.25615167 -18.308716 71.972189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25618134-1.25615167) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25618134-1.25615167) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31964325--0.31954737) × cos(1.25618134) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.309450379112553 × 6371000     		do = 189.028222067449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31964325--0.31954737) × cos(1.25615167) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.309478592641953 × 6371000     		du = 189.04545634364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25618134)-sin(1.25615167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309450379112553-0.309478592641953)×R²
    abs(-0.31954737--0.31964325)×2.82135294007446e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.82135294007446e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.82135294007446e-05×40589641000000     		ar = 35733.1743579649m²