Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29433 / 15589
↖ ↑ ↗
← N 68.194012°
W 18.319702°		 ← 226.89 m → N 68.194012°
W 18.314209°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
N 68.191971°
W 18.319702°		 ← 226.91 m →
51 491 m²		 N 68.191971°
W 18.314209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449119567871094 y=0.237876892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449119567871094 × 216)
    floor (0.449119567871094 × 65536)
    floor (29433.5)     		tx = 29433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237876892089844 × 216)
    floor (0.237876892089844 × 65536)
    floor (15589.5)     		ty = 15589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29433 / 15589 ti = "16/29433/15589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29433/15589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29433 ÷ 216
    29433 ÷ 65536     		x = 0.449111938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15589 ÷ 216
    15589 ÷ 65536     		y = 0.237869262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449111938476562 × 2 - 1) × π
    -0.101776123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31973912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237869262695312 × 2 - 1) × π
    0.524261474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64701599714589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31973912} λ = -0.31973912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64701599714589))-π/2
    2×atan(5.1914653436579)-π/2
    2×1.38050318203991-π/2
    2.76100636407982-1.57079632675     		φ = 1.19021004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31973912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.319702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19021004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.194012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29433 KachelY 15589 -0.31973912 1.19021004 -18.319702 68.194012
    Oben rechts KachelX + 1 29434 KachelY 15589 -0.31964325 1.19021004 -18.314209 68.194012
    Unten links KachelX 29433 KachelY + 1 15590 -0.31973912 1.19017442 -18.319702 68.191971
    Unten rechts KachelX + 1 29434 KachelY + 1 15590 -0.31964325 1.19017442 -18.314209 68.191971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19021004-1.19017442) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dl = 226.935020000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19021004-1.19017442) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dr = 226.935020000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31973912--0.31964325) × cos(1.19021004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371464869445863 × 6371000     		do = 226.886199242175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31973912--0.31964325) × cos(1.19017442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371497940492706 × 6371000     		du = 226.906398633127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19021004)-sin(1.19017442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371464869445863-0.371497940492706)×R²
    abs(-0.31964325--0.31973912)×3.30710468422479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30710468422479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30710468422479e-05×40589641000000     		ar = 51490.7161426535m²