Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29431 / 22995
↖ ↑ ↗
← N 47.208374°
W 18.330689°		 ← 414.97 m → N 47.208374°
W 18.325195°		 →
↑
414.94 m
↓
↑
414.94 m
↓
N 47.204642°
W 18.330689°		 ← 415 m →
172 196 m²		 N 47.204642°
W 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449089050292969 y=0.350883483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449089050292969 × 216)
    floor (0.449089050292969 × 65536)
    floor (29431.5)     		tx = 29431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350883483886719 × 216)
    floor (0.350883483886719 × 65536)
    floor (22995.5)     		ty = 22995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29431 / 22995 ti = "16/29431/22995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29431/22995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29431 ÷ 216
    29431 ÷ 65536     		x = 0.449081420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22995 ÷ 216
    22995 ÷ 65536     		y = 0.350875854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449081420898438 × 2 - 1) × π
    -0.101837158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31993087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350875854492188 × 2 - 1) × π
    0.298248291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.936974639973618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31993087} λ = -0.31993087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936974639973618))-π/2
    2×atan(2.55224825657554)-π/2
    2×1.19736894565764-π/2
    2.39473789131528-1.57079632675     		φ = 0.82394156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31993087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.330689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82394156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.208374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29431 KachelY 22995 -0.31993087 0.82394156 -18.330689 47.208374
    Oben rechts KachelX + 1 29432 KachelY 22995 -0.31983499 0.82394156 -18.325195 47.208374
    Unten links KachelX 29431 KachelY + 1 22996 -0.31993087 0.82387643 -18.330689 47.204642
    Unten rechts KachelX + 1 29432 KachelY + 1 22996 -0.31983499 0.82387643 -18.325195 47.204642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82394156-0.82387643) × R
    6.51299999999688e-05 × 6371000     		dl = 414.943229999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82394156-0.82387643) × R
    6.51299999999688e-05 × 6371000     		dr = 414.943229999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31993087--0.31983499) × cos(0.82394156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.679334060141282 × 6371000     		do = 414.972216051679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31993087--0.31983499) × cos(0.82387643) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.679381852993541 × 6371000     		du = 415.001410386215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82394156)-sin(0.82387643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679334060141282-0.679381852993541)×R²
    abs(-0.31983499--0.31993087)×4.77928522585325e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77928522585325e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77928522585325e-05×40589641000000     		ar = 172195.968745107m²