Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29431 / 22993
↖ ↑ ↗
← N 47.215837°
W 18.330689°		 ← 414.91 m → N 47.215837°
W 18.325195°		 →
↑
414.94 m
↓
↑
414.94 m
↓
N 47.212106°
W 18.330689°		 ← 414.94 m →
172 172 m²		 N 47.212106°
W 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449089050292969 y=0.350852966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449089050292969 × 216)
    floor (0.449089050292969 × 65536)
    floor (29431.5)     		tx = 29431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350852966308594 × 216)
    floor (0.350852966308594 × 65536)
    floor (22993.5)     		ty = 22993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29431 / 22993 ti = "16/29431/22993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29431/22993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29431 ÷ 216
    29431 ÷ 65536     		x = 0.449081420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22993 ÷ 216
    22993 ÷ 65536     		y = 0.350845336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449081420898438 × 2 - 1) × π
    -0.101837158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31993087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350845336914062 × 2 - 1) × π
    0.298309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.937166387572098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31993087} λ = -0.31993087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937166387572098))-π/2
    2×atan(2.5527376909719)-π/2
    2×1.19743407141241-π/2
    2.39486814282481-1.57079632675     		φ = 0.82407182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31993087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.330689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82407182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.215837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29431 KachelY 22993 -0.31993087 0.82407182 -18.330689 47.215837
    Oben rechts KachelX + 1 29432 KachelY 22993 -0.31983499 0.82407182 -18.325195 47.215837
    Unten links KachelX 29431 KachelY + 1 22994 -0.31993087 0.82400669 -18.330689 47.212106
    Unten rechts KachelX + 1 29432 KachelY + 1 22994 -0.31983499 0.82400669 -18.325195 47.212106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82407182-0.82400669) × R
    6.51299999999688e-05 × 6371000     		dl = 414.943229999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82407182-0.82400669) × R
    6.51299999999688e-05 × 6371000     		dr = 414.943229999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31993087--0.31983499) × cos(0.82407182) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.679238465791932 × 6371000     		do = 414.913822101899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31993087--0.31983499) × cos(0.82400669) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.679286264407345 × 6371000     		du = 414.943019956866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82407182)-sin(0.82400669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679238465791932-0.679286264407345)×R²
    abs(-0.31983499--0.31993087)×4.77986154130416e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77986154130416e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77986154130416e-05×40589641000000     		ar = 172171.739301494m²