Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29430 / 15643
↖ ↑ ↗
← N 68.083559°
W 18.336182°		 ← 227.98 m → N 68.083559°
W 18.330689°		 →
↑
228.02 m
↓
↑
228.02 m
↓
N 68.081508°
W 18.336182°		 ← 228 m →
51 986 m²		 N 68.081508°
W 18.330689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449073791503906 y=0.238700866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449073791503906 × 216)
    floor (0.449073791503906 × 65536)
    floor (29430.5)     		tx = 29430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238700866699219 × 216)
    floor (0.238700866699219 × 65536)
    floor (15643.5)     		ty = 15643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29430 / 15643 ti = "16/29430/15643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29430/15643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29430 ÷ 216
    29430 ÷ 65536     		x = 0.449066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15643 ÷ 216
    15643 ÷ 65536     		y = 0.238693237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.10186767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32002674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238693237304688 × 2 - 1) × π
    0.522613525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64183881198692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32002674} λ = -0.32002674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64183881198692))-π/2
    2×atan(5.16465762047853)-π/2
    2×1.37953929670543-π/2
    2.75907859341086-1.57079632675     		φ = 1.18828227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32002674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18828227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.083559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29430 KachelY 15643 -0.32002674 1.18828227 -18.336182 68.083559
    Oben rechts KachelX + 1 29431 KachelY 15643 -0.31993087 1.18828227 -18.330689 68.083559
    Unten links KachelX 29430 KachelY + 1 15644 -0.32002674 1.18824648 -18.336182 68.081508
    Unten rechts KachelX + 1 29431 KachelY + 1 15644 -0.31993087 1.18824648 -18.330689 68.081508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18828227-1.18824648) × R
    3.5789999999869e-05 × 6371000     		dl = 228.018089999165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18828227-1.18824648) × R
    3.5789999999869e-05 × 6371000     		dr = 228.018089999165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32002674--0.31993087) × cos(1.18828227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373254010393436 × 6371000     		do = 227.978984651759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32002674--0.31993087) × cos(1.18824648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373287213581963 × 6371000     		du = 227.999264753236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18828227)-sin(1.18824648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373254010393436-0.373287213581963)×R²
    abs(-0.31993087--0.32002674)×3.3203188527231e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3203188527231e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3203188527231e-05×40589641000000     		ar = 51985.6447607751m²