Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2943 / 3451
↖ ↑ ↗
← N 27.254629°
W 50.668945°		 ← 4 344 m → N 27.254629°
W 50.625000°		 →
↑
4 344.77 m
↓
↑
4 344.77 m
↓
N 27.215556°
W 50.668945°		 ← 4 345.52 m →
18 876 963 m²		 N 27.215556°
W 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35931396484375 y=0.42132568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35931396484375 × 213)
    floor (0.35931396484375 × 8192)
    floor (2943.5)     		tx = 2943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42132568359375 × 213)
    floor (0.42132568359375 × 8192)
    floor (3451.5)     		ty = 3451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2943 / 3451 ti = "13/2943/3451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2943/3451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2943 ÷ 213
    2943 ÷ 8192     		x = 0.3592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3451 ÷ 213
    3451 ÷ 8192     		y = 0.4212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88433992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4212646484375 × 2 - 1) × π
    0.157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.494708804078979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88433992} λ = -0.88433992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494708804078979))-π/2
    2×atan(1.64002060220772)-π/2
    2×1.02323967466318-π/2
    2.04647934932637-1.57079632675     		φ = 0.47568302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88433992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47568302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.254629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2943 KachelY 3451 -0.88433992 0.47568302 -50.668945 27.254629
    Oben rechts KachelX + 1 2944 KachelY 3451 -0.88357293 0.47568302 -50.625000 27.254629
    Unten links KachelX 2943 KachelY + 1 3452 -0.88433992 0.47500106 -50.668945 27.215556
    Unten rechts KachelX + 1 2944 KachelY + 1 3452 -0.88357293 0.47500106 -50.625000 27.215556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47568302-0.47500106) × R
    0.000681960000000037 × 6371000     		dl = 4344.76716000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47568302-0.47500106) × R
    0.000681960000000037 × 6371000     		dr = 4344.76716000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88433992--0.88357293) × cos(0.47568302) × R
    0.000766989999999912 × 0.888980142906488 × 6371000     		do = 4343.9955032553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88433992--0.88357293) × cos(0.47500106) × R
    0.000766989999999912 × 0.889292236843915 × 6371000     		du = 4345.52054818638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47568302)-sin(0.47500106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888980142906488-0.889292236843915)×R²
    abs(-0.88357293--0.88433992)×0.000312093937426816×R²
    0.000766989999999912×0.000312093937426816×6371000²
    0.000766989999999912×0.000312093937426816×40589641000000     		ar = 18876962.7198913m²