Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2943 / 3449
↖ ↑ ↗
← N 27.332735°
W 50.668945°		 ← 4 340.94 m → N 27.332735°
W 50.625000°		 →
↑
4 341.71 m
↓
↑
4 341.71 m
↓
N 27.293689°
W 50.668945°		 ← 4 342.47 m →
18 850 421 m²		 N 27.293689°
W 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35931396484375 y=0.42108154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35931396484375 × 213)
    floor (0.35931396484375 × 8192)
    floor (2943.5)     		tx = 2943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42108154296875 × 213)
    floor (0.42108154296875 × 8192)
    floor (3449.5)     		ty = 3449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2943 / 3449 ti = "13/2943/3449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2943/3449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2943 ÷ 213
    2943 ÷ 8192     		x = 0.3592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3449 ÷ 213
    3449 ÷ 8192     		y = 0.4210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88433992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4210205078125 × 2 - 1) × π
    0.157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.496242784866821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88433992} λ = -0.88433992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496242784866821))-π/2
    2×atan(1.64253829285401)-π/2
    2×1.02392127424802-π/2
    2.04784254849603-1.57079632675     		φ = 0.47704622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88433992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47704622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.332735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2943 KachelY 3449 -0.88433992 0.47704622 -50.668945 27.332735
    Oben rechts KachelX + 1 2944 KachelY 3449 -0.88357293 0.47704622 -50.625000 27.332735
    Unten links KachelX 2943 KachelY + 1 3450 -0.88433992 0.47636474 -50.668945 27.293689
    Unten rechts KachelX + 1 2944 KachelY + 1 3450 -0.88357293 0.47636474 -50.625000 27.293689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47704622-0.47636474) × R
    0.000681480000000012 × 6371000     		dl = 4341.70908000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47704622-0.47636474) × R
    0.000681480000000012 × 6371000     		dr = 4341.70908000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88433992--0.88357293) × cos(0.47704622) × R
    0.000766989999999912 × 0.888355045457921 × 6371000     		do = 4340.94096876728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88433992--0.88357293) × cos(0.47636474) × R
    0.000766989999999912 × 0.888667745584006 × 6371000     		du = 4342.46897583517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47704622)-sin(0.47636474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888355045457921-0.888667745584006)×R²
    abs(-0.88357293--0.88433992)×0.000312700126084309×R²
    0.000766989999999912×0.000312700126084309×6371000²
    0.000766989999999912×0.000312700126084309×40589641000000     		ar = 18850420.6304569m²