Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29429 / 22989
↖ ↑ ↗
← N 47.230759°
W 18.341675°		 ← 414.80 m → N 47.230759°
W 18.336182°		 →
↑
414.75 m
↓
↑
414.75 m
↓
N 47.227029°
W 18.341675°		 ← 414.83 m →
172 044 m²		 N 47.227029°
W 18.336182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449058532714844 y=0.350791931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449058532714844 × 216)
    floor (0.449058532714844 × 65536)
    floor (29429.5)     		tx = 29429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350791931152344 × 216)
    floor (0.350791931152344 × 65536)
    floor (22989.5)     		ty = 22989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29429 / 22989 ti = "16/29429/22989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29429/22989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29429 ÷ 216
    29429 ÷ 65536     		x = 0.449050903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22989 ÷ 216
    22989 ÷ 65536     		y = 0.350784301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449050903320312 × 2 - 1) × π
    -0.101898193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32012262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350784301757812 × 2 - 1) × π
    0.298431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.937549882769058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32012262} λ = -0.32012262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937549882769058))-π/2
    2×atan(2.55371684135322)-π/2
    2×1.19756429542922-π/2
    2.39512859085843-1.57079632675     		φ = 0.82433226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32012262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.341675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82433226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.230759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29429 KachelY 22989 -0.32012262 0.82433226 -18.341675 47.230759
    Oben rechts KachelX + 1 29430 KachelY 22989 -0.32002674 0.82433226 -18.336182 47.230759
    Unten links KachelX 29429 KachelY + 1 22990 -0.32012262 0.82426716 -18.341675 47.227029
    Unten rechts KachelX + 1 29430 KachelY + 1 22990 -0.32002674 0.82426716 -18.336182 47.227029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82433226-0.82426716) × R
    6.51000000000401e-05 × 6371000     		dl = 414.752100000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82433226-0.82426716) × R
    6.51000000000401e-05 × 6371000     		dr = 414.752100000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32012262--0.32002674) × cos(0.82433226) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.679047301247141 × 6371000     		do = 414.79704895703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32012262--0.32002674) × cos(0.82426716) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.679095089361382 × 6371000     		du = 414.826240397341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82433226)-sin(0.82426716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679047301247141-0.679095089361382)×R²
    abs(-0.32002674--0.32012262)×4.77881142415537e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77881142415537e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77881142415537e-05×40589641000000     		ar = 172044.00079508m²