Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29429 / 22735
↖ ↑ ↗
← N 48.169749°
W 18.341675°		 ← 407.39 m → N 48.169749°
W 18.336182°		 →
↑
407.36 m
↓
↑
407.36 m
↓
N 48.166086°
W 18.341675°		 ← 407.42 m →
165 962 m²		 N 48.166086°
W 18.336182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449058532714844 y=0.346916198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449058532714844 × 216)
    floor (0.449058532714844 × 65536)
    floor (29429.5)     		tx = 29429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346916198730469 × 216)
    floor (0.346916198730469 × 65536)
    floor (22735.5)     		ty = 22735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29429 / 22735 ti = "16/29429/22735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29429/22735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29429 ÷ 216
    29429 ÷ 65536     		x = 0.449050903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22735 ÷ 216
    22735 ÷ 65536     		y = 0.346908569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449050903320312 × 2 - 1) × π
    -0.101898193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32012262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346908569335938 × 2 - 1) × π
    0.306182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.961901827776047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32012262} λ = -0.32012262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961901827776047))-π/2
    2×atan(2.61666819650086)-π/2
    2×1.20575852407292-π/2
    2.41151704814585-1.57079632675     		φ = 0.84072072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32012262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.341675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84072072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.169749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29429 KachelY 22735 -0.32012262 0.84072072 -18.341675 48.169749
    Oben rechts KachelX + 1 29430 KachelY 22735 -0.32002674 0.84072072 -18.336182 48.169749
    Unten links KachelX 29429 KachelY + 1 22736 -0.32012262 0.84065678 -18.341675 48.166086
    Unten rechts KachelX + 1 29430 KachelY + 1 22736 -0.32002674 0.84065678 -18.336182 48.166086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84072072-0.84065678) × R
    6.39399999999846e-05 × 6371000     		dl = 407.361739999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84072072-0.84065678) × R
    6.39399999999846e-05 × 6371000     		dr = 407.361739999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32012262--0.32002674) × cos(0.84072072) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.666925973345802 × 6371000     		do = 407.392717868928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32012262--0.32002674) × cos(0.84065678) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.666973615209768 × 6371000     		du = 407.421819972042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84072072)-sin(0.84065678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666925973345802-0.666973615209768)×R²
    abs(-0.32002674--0.32012262)×4.7641863965775e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7641863965775e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7641863965775e-05×40589641000000     		ar = 165962.134012444m²