Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29429 / 19931
↖ ↑ ↗
← N 57.436081°
W 18.341675°		 ← 328.78 m → N 57.436081°
W 18.336182°		 →
↑
328.81 m
↓
↑
328.81 m
↓
N 57.433124°
W 18.341675°		 ← 328.81 m →
108 111 m²		 N 57.433124°
W 18.336182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449058532714844 y=0.304130554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449058532714844 × 216)
    floor (0.449058532714844 × 65536)
    floor (29429.5)     		tx = 29429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304130554199219 × 216)
    floor (0.304130554199219 × 65536)
    floor (19931.5)     		ty = 19931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29429 / 19931 ti = "16/29429/19931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29429/19931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29429 ÷ 216
    29429 ÷ 65536     		x = 0.449050903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19931 ÷ 216
    19931 ÷ 65536     		y = 0.304122924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449050903320312 × 2 - 1) × π
    -0.101898193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32012262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304122924804688 × 2 - 1) × π
    0.391754150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23073196084532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32012262} λ = -0.32012262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23073196084532))-π/2
    2×atan(3.42373465906714)-π/2
    2×1.28662252122344-π/2
    2.57324504244687-1.57079632675     		φ = 1.00244872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32012262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.341675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00244872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.436081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29429 KachelY 19931 -0.32012262 1.00244872 -18.341675 57.436081
    Oben rechts KachelX + 1 29430 KachelY 19931 -0.32002674 1.00244872 -18.336182 57.436081
    Unten links KachelX 29429 KachelY + 1 19932 -0.32012262 1.00239711 -18.341675 57.433124
    Unten rechts KachelX + 1 29430 KachelY + 1 19932 -0.32002674 1.00239711 -18.336182 57.433124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00244872-1.00239711) × R
    5.16100000000907e-05 × 6371000     		dl = 328.807310000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00244872-1.00239711) × R
    5.16100000000907e-05 × 6371000     		dr = 328.807310000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32012262--0.32002674) × cos(1.00244872) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.538240161209912 × 6371000     		do = 328.784799070678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32012262--0.32002674) × cos(1.00239711) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.538283656962883 × 6371000     		du = 328.811368515755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00244872)-sin(1.00239711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538240161209912-0.538283656962883)×R²
    abs(-0.32002674--0.32012262)×4.34957529714675e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.34957529714675e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.34957529714675e-05×40589641000000     		ar = 108111.213489488m²