Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29429 / 19700
↖ ↑ ↗
← N 58.112714°
W 18.341675°		 ← 322.68 m → N 58.112714°
W 18.336182°		 →
↑
322.63 m
↓
↑
322.63 m
↓
N 58.109813°
W 18.341675°		 ← 322.71 m →
104 110 m²		 N 58.109813°
W 18.336182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449058532714844 y=0.300605773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449058532714844 × 216)
    floor (0.449058532714844 × 65536)
    floor (29429.5)     		tx = 29429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300605773925781 × 216)
    floor (0.300605773925781 × 65536)
    floor (19700.5)     		ty = 19700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29429 / 19700 ti = "16/29429/19700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29429/19700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29429 ÷ 216
    29429 ÷ 65536     		x = 0.449050903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19700 ÷ 216
    19700 ÷ 65536     		y = 0.30059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449050903320312 × 2 - 1) × π
    -0.101898193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32012262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30059814453125 × 2 - 1) × π
    0.3988037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25287880846979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32012262} λ = -0.32012262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25287880846979))-π/2
    2×atan(3.50040546339445)-π/2
    2×1.29252726552355-π/2
    2.5850545310471-1.57079632675     		φ = 1.01425820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32012262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.341675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01425820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.112714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29429 KachelY 19700 -0.32012262 1.01425820 -18.341675 58.112714
    Oben rechts KachelX + 1 29430 KachelY 19700 -0.32002674 1.01425820 -18.336182 58.112714
    Unten links KachelX 29429 KachelY + 1 19701 -0.32012262 1.01420756 -18.341675 58.109813
    Unten rechts KachelX + 1 29430 KachelY + 1 19701 -0.32002674 1.01420756 -18.336182 58.109813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01425820-1.01420756) × R
    5.06399999999907e-05 × 6371000     		dl = 322.627439999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01425820-1.01420756) × R
    5.06399999999907e-05 × 6371000     		dr = 322.627439999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32012262--0.32002674) × cos(1.01425820) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.528249930997942 × 6371000     		do = 322.682252160153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32012262--0.32002674) × cos(1.01420756) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.528292928183995 × 6371000     		du = 322.708517054889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01425820)-sin(1.01420756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528249930997942-0.528292928183995)×R²
    abs(-0.32002674--0.32012262)×4.29971860528289e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.29971860528289e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.29971860528289e-05×40589641000000     		ar = 104110.385858268m²