Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29428 / 22997
↖ ↑ ↗
← N 47.200910°
W 18.347168°		 ← 414.99 m → N 47.200910°
W 18.341675°		 →
↑
415.01 m
↓
↑
415.01 m
↓
N 47.197178°
W 18.347168°		 ← 415.02 m →
172 229 m²		 N 47.197178°
W 18.341675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449043273925781 y=0.350914001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449043273925781 × 216)
    floor (0.449043273925781 × 65536)
    floor (29428.5)     		tx = 29428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350914001464844 × 216)
    floor (0.350914001464844 × 65536)
    floor (22997.5)     		ty = 22997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29428 / 22997 ti = "16/29428/22997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29428/22997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29428 ÷ 216
    29428 ÷ 65536     		x = 0.44903564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22997 ÷ 216
    22997 ÷ 65536     		y = 0.350906372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32021849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350906372070312 × 2 - 1) × π
    0.298187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.936782892375137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32021849} λ = -0.32021849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936782892375137))-π/2
    2×atan(2.55175891601806)-π/2
    2×1.19730381073838-π/2
    2.39460762147677-1.57079632675     		φ = 0.82381129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32021849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82381129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.200910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29428 KachelY 22997 -0.32021849 0.82381129 -18.347168 47.200910
    Oben rechts KachelX + 1 29429 KachelY 22997 -0.32012262 0.82381129 -18.341675 47.200910
    Unten links KachelX 29428 KachelY + 1 22998 -0.32021849 0.82374615 -18.347168 47.197178
    Unten rechts KachelX + 1 29429 KachelY + 1 22998 -0.32012262 0.82374615 -18.341675 47.197178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82381129-0.82374615) × R
    6.51400000000191e-05 × 6371000     		dl = 415.006940000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82381129-0.82374615) × R
    6.51400000000191e-05 × 6371000     		dr = 415.006940000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32021849--0.32012262) × cos(0.82381129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679429650301325 × 6371000     		do = 414.987320979417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32021849--0.32012262) × cos(0.82374615) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679477444726139 × 6371000     		du = 415.016513229568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82381129)-sin(0.82374615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679429650301325-0.679477444726139)×R²
    abs(-0.32012262--0.32021849)×4.77944248145068e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77944248145068e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77944248145068e-05×40589641000000     		ar = 172228.675772609m²