Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29428 / 15557
↖ ↑ ↗
← N 68.259216°
W 18.347168°		 ← 226.24 m → N 68.259216°
W 18.341675°		 →
↑
226.30 m
↓
↑
226.30 m
↓
N 68.257181°
W 18.347168°		 ← 226.26 m →
51 200 m²		 N 68.257181°
W 18.341675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449043273925781 y=0.237388610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449043273925781 × 216)
    floor (0.449043273925781 × 65536)
    floor (29428.5)     		tx = 29428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237388610839844 × 216)
    floor (0.237388610839844 × 65536)
    floor (15557.5)     		ty = 15557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29428 / 15557 ti = "16/29428/15557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29428/15557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29428 ÷ 216
    29428 ÷ 65536     		x = 0.44903564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15557 ÷ 216
    15557 ÷ 65536     		y = 0.237380981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32021849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237380981445312 × 2 - 1) × π
    0.525238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.65008395872157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32021849} λ = -0.32021849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65008395872157))-π/2
    2×atan(5.20741701690208)-π/2
    2×1.38107219111502-π/2
    2.76214438223005-1.57079632675     		φ = 1.19134806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32021849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19134806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.259216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29428 KachelY 15557 -0.32021849 1.19134806 -18.347168 68.259216
    Oben rechts KachelX + 1 29429 KachelY 15557 -0.32012262 1.19134806 -18.341675 68.259216
    Unten links KachelX 29428 KachelY + 1 15558 -0.32021849 1.19131254 -18.347168 68.257181
    Unten rechts KachelX + 1 29429 KachelY + 1 15558 -0.32012262 1.19131254 -18.341675 68.257181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19134806-1.19131254) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dl = 226.297919999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19134806-1.19131254) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dr = 226.297919999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32021849--0.32012262) × cos(1.19134806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370408037867264 × 6371000     		do = 226.240699439017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32021849--0.32012262) × cos(1.19131254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370441031065563 × 6371000     		du = 226.260851281031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19134806)-sin(1.19131254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370408037867264-0.370441031065563)×R²
    abs(-0.32012262--0.32021849)×3.2993198298692e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2993198298692e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2993198298692e-05×40589641000000     		ar = 51200.0798677024m²