Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29427 / 22737
↖ ↑ ↗
← N 48.162421°
W 18.352661°		 ← 407.41 m → N 48.162421°
W 18.347168°		 →
↑
407.43 m
↓
↑
407.43 m
↓
N 48.158757°
W 18.352661°		 ← 407.44 m →
165 994 m²		 N 48.158757°
W 18.347168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449028015136719 y=0.346946716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449028015136719 × 216)
    floor (0.449028015136719 × 65536)
    floor (29427.5)     		tx = 29427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346946716308594 × 216)
    floor (0.346946716308594 × 65536)
    floor (22737.5)     		ty = 22737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29427 / 22737 ti = "16/29427/22737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29427/22737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29427 ÷ 216
    29427 ÷ 65536     		x = 0.449020385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22737 ÷ 216
    22737 ÷ 65536     		y = 0.346939086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449020385742188 × 2 - 1) × π
    -0.101959228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32031436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346939086914062 × 2 - 1) × π
    0.306121826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.961710080177567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32031436} λ = -0.32031436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961710080177567))-π/2
    2×atan(2.61616650475879)-π/2
    2×1.20569457877831-π/2
    2.41138915755662-1.57079632675     		φ = 0.84059283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32031436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.352661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84059283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.162421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29427 KachelY 22737 -0.32031436 0.84059283 -18.352661 48.162421
    Oben rechts KachelX + 1 29428 KachelY 22737 -0.32021849 0.84059283 -18.347168 48.162421
    Unten links KachelX 29427 KachelY + 1 22738 -0.32031436 0.84052888 -18.352661 48.158757
    Unten rechts KachelX + 1 29428 KachelY + 1 22738 -0.32021849 0.84052888 -18.347168 48.158757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84059283-0.84052888) × R
    6.39499999999238e-05 × 6371000     		dl = 407.425449999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84059283-0.84052888) × R
    6.39499999999238e-05 × 6371000     		dr = 407.425449999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32031436--0.32021849) × cos(0.84059283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667021261797316 × 6371000     		do = 407.40842903576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32031436--0.32021849) × cos(0.84052888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667068905657013 × 6371000     		du = 407.437529322579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84059283)-sin(0.84052888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667021261797316-0.667068905657013)×R²
    abs(-0.32021849--0.32031436)×4.76438596967999e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76438596967999e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76438596967999e-05×40589641000000     		ar = 165994.490688745m²