Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29426 / 22986
↖ ↑ ↗
← N 47.241949°
W 18.358154°		 ← 414.71 m → N 47.241949°
W 18.352661°		 →
↑
414.69 m
↓
↑
414.69 m
↓
N 47.238219°
W 18.358154°		 ← 414.74 m →
171 981 m²		 N 47.238219°
W 18.352661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449012756347656 y=0.350746154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449012756347656 × 216)
    floor (0.449012756347656 × 65536)
    floor (29426.5)     		tx = 29426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350746154785156 × 216)
    floor (0.350746154785156 × 65536)
    floor (22986.5)     		ty = 22986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29426 / 22986 ti = "16/29426/22986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29426/22986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29426 ÷ 216
    29426 ÷ 65536     		x = 0.449005126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22986 ÷ 216
    22986 ÷ 65536     		y = 0.350738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449005126953125 × 2 - 1) × π
    -0.10198974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32041024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350738525390625 × 2 - 1) × π
    0.29852294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.937837504166779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32041024} λ = -0.32041024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937837504166779))-π/2
    2×atan(2.55445145060012)-π/2
    2×1.19766193938642-π/2
    2.39532387877284-1.57079632675     		φ = 0.82452755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32041024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.358154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82452755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.241949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29426 KachelY 22986 -0.32041024 0.82452755 -18.358154 47.241949
    Oben rechts KachelX + 1 29427 KachelY 22986 -0.32031436 0.82452755 -18.352661 47.241949
    Unten links KachelX 29426 KachelY + 1 22987 -0.32041024 0.82446246 -18.358154 47.238219
    Unten rechts KachelX + 1 29427 KachelY + 1 22987 -0.32031436 0.82446246 -18.352661 47.238219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82452755-0.82446246) × R
    6.50899999999899e-05 × 6371000     		dl = 414.688389999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82452755-0.82446246) × R
    6.50899999999899e-05 × 6371000     		dr = 414.688389999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32041024--0.32031436) × cos(0.82452755) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678903926980642 × 6371000     		do = 414.709468573905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32041024--0.32031436) × cos(0.82446246) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678951716385432 × 6371000     		du = 414.73866080255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82452755)-sin(0.82446246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678903926980642-0.678951716385432)×R²
    abs(-0.32031436--0.32041024)×4.77894047904437e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77894047904437e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77894047904437e-05×40589641000000     		ar = 171981.254740796m²