Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29424 / 22996
↖ ↑ ↗
← N 47.204642°
W 18.369140°		 ← 414.96 m → N 47.204642°
W 18.363647°		 →
↑
415.01 m
↓
↑
415.01 m
↓
N 47.200910°
W 18.369140°		 ← 414.99 m →
172 217 m²		 N 47.200910°
W 18.363647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448982238769531 y=0.350898742675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448982238769531 × 216)
    floor (0.448982238769531 × 65536)
    floor (29424.5)     		tx = 29424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350898742675781 × 216)
    floor (0.350898742675781 × 65536)
    floor (22996.5)     		ty = 22996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29424 / 22996 ti = "16/29424/22996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29424/22996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29424 ÷ 216
    29424 ÷ 65536     		x = 0.448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22996 ÷ 216
    22996 ÷ 65536     		y = 0.35089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35089111328125 × 2 - 1) × π
    0.2982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.936878766174377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32060198} λ = -0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936878766174377))-π/2
    2×atan(2.55200357456806)-π/2
    2×1.19733637934358-π/2
    2.39467275868717-1.57079632675     		φ = 0.82387643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82387643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.204642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29424 KachelY 22996 -0.32060198 0.82387643 -18.369140 47.204642
    Oben rechts KachelX + 1 29425 KachelY 22996 -0.32050611 0.82387643 -18.363647 47.204642
    Unten links KachelX 29424 KachelY + 1 22997 -0.32060198 0.82381129 -18.369140 47.200910
    Unten rechts KachelX + 1 29425 KachelY + 1 22997 -0.32050611 0.82381129 -18.363647 47.200910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82387643-0.82381129) × R
    6.51400000000191e-05 × 6371000     		dl = 415.006940000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82387643-0.82381129) × R
    6.51400000000191e-05 × 6371000     		dr = 415.006940000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32060198--0.32050611) × cos(0.82387643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679381852993541 × 6371000     		do = 414.958126968384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32060198--0.32050611) × cos(0.82381129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679429650301325 × 6371000     		du = 414.987320979417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82387643)-sin(0.82381129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679381852993541-0.679429650301325)×R²
    abs(-0.32050611--0.32060198)×4.77973077837035e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77973077837035e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77973077837035e-05×40589641000000     		ar = 172216.560420769m²