Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29424 / 21232
↖ ↑ ↗
← N 76.362262°
W 99.184570°		 ← 72.01 m → N 76.362262°
W 99.181824°		 →
↑
71.99 m
↓
↑
71.99 m
↓
N 76.361614°
W 99.184570°		 ← 72.02 m →
5 185 m²		 N 76.361614°
W 99.181824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224491119384766 y=0.161991119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224491119384766 × 217)
    floor (0.224491119384766 × 131072)
    floor (29424.5)     		tx = 29424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161991119384766 × 217)
    floor (0.161991119384766 × 131072)
    floor (21232.5)     		ty = 21232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29424 / 21232 ti = "17/29424/21232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29424/21232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29424 ÷ 217
    29424 ÷ 131072     		x = 0.2244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21232 ÷ 217
    21232 ÷ 131072     		y = 0.1619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2244873046875 × 2 - 1) × π
    -0.551025390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73109732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1619873046875 × 2 - 1) × π
    0.676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12379640076697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73109732} λ = -1.73109732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12379640076697))-π/2
    2×atan(8.36282593740351)-π/2
    2×1.45178460988932-π/2
    2.90356921977864-1.57079632675     		φ = 1.33277289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73109732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33277289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.362262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29424 KachelY 21232 -1.73109732 1.33277289 -99.184570 76.362262
    Oben rechts KachelX + 1 29425 KachelY 21232 -1.73104938 1.33277289 -99.181824 76.362262
    Unten links KachelX 29424 KachelY + 1 21233 -1.73109732 1.33276159 -99.184570 76.361614
    Unten rechts KachelX + 1 29425 KachelY + 1 21233 -1.73104938 1.33276159 -99.181824 76.361614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33277289-1.33276159) × R
    1.12999999999364e-05 × 6371000     		dl = 71.9922999995946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33277289-1.33276159) × R
    1.12999999999364e-05 × 6371000     		dr = 71.9922999995946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73109732--1.73104938) × cos(1.33277289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235782252448032 × 6371000     		do = 72.0139689327596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73109732--1.73104938) × cos(1.33276159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235793233839777 × 6371000     		du = 72.0173229324596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33277289)-sin(1.33276159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235782252448032-0.235793233839777)×R²
    abs(-1.73104938--1.73109732)×1.09813917449908e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09813917449908e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09813917449908e-05×40589641000000     		ar = 5184.57198670704m²